HDU 3364 Lanterns （高斯消元）

题意：有n个灯和m个开关，每个开关控制数个灯的状态改变，给出k条询问，问使灯的状态变为询问中的状态有多少种发法。

析：同余高斯消元法，模板题，将每个开关控制每个灯列成行列式，最终状态是结果列，同余高斯消元，如果无解就是0，否则结果就是1<<(自由变元的个数);

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<math.h>
using namespace std;

const int maxn = 110;
const int mod = 2;

int a[maxn][maxn];//增广矩阵
int b[maxn][maxn];
int x[maxn];//解集
bool free_x[maxn];//标记是否是不确定的变元

int gcd(int a,int b)
{
    return a == 0?b:gcd(b%a,a);
}
int lcm(int a,int b)
{
    return a*b/gcd(a,b);//先除后乘防溢出
}

// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var)
{
    int i,j,k;
    int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.
    int col;//当前处理的列
    int ta,tb;
    int LCM;
    int temp;
    int free_x_num;
    int free_index;

//    for(int i=0;i<=var;i++)
//    {
//        x[i]=0;
//        free_x[i]=true;
//    }

    //转换为阶梯阵.
    col=0; // 当前处理的列
    for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++)
    {// 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
        max_r=k;
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
        }
        if(max_r!=k)
        {// 与第k行交换.
            for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        }
        if(a[k][col]==0)
        {// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
            k--;
            continue;
        }
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {// 枚举要删去的行.
            if(a[i][col])
            {
                LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
                ta = LCM/abs(a[i][col]);
                tb = LCM/abs(a[k][col]);
                if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加
                for(j=col;j<var+1;j++)
                {
                    a[i][j] = ((a[i][j]*ta-a[k][j]*tb)%mod+mod)%mod;//如果不是同模取余则改为a[i][j] = (a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
                }
            }
        }
    }
    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
    for (i = k; i < equ; i++)
    { // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
        if (a[i][col]) return -1;
    }
    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
    // 且出现的行数即为自由变元的个数.
    if (k < var)
    {
        //首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
//        for (i = k - 1; i >= 0; i--)
//        {
//            // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
//            // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
//            free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
//            for (j = 0; j < var; j++)
//            {
//                if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
//            }
//            if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
//            // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
//            temp = a[i][var];
//            for (j = 0; j < var; j++)
//            {
//                if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
//            }
//            x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
//            free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
//        }
        return var - k; // 自由变元有var - k个.
    }
    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
    //需要解得时候就用下面的循环来解。
//    for (i = var - 1; i >= 0; i--)
//    {
//        temp = a[i][var];
//        for (j = i + 1; j < var; j++)
//        {
//            if (a[i][j] != 0) temp = ((temp - a[i][j]*x[j])%mod+mod)%mod;//temp -= a[i][j] * x[j];
//        }
//        while(temp % a[i][i] != 0) temp+=mod;//如果不是同模取余，则temp % a[i][i] != 0时产生浮点数解
//        x[i] = (temp / a[i][i])%mod;
//         if(x[i]<0)x[i]+=mod;
//    }
    return 0;
}
int main()
{
    int i, j;
    int n,m,var;
    int t,kase = 1;
    scanf("%d",&t);
    while (t--)
    {
        memset(b,0,sizeof(b));
        scanf("%d%d", &n, &var);
        for(int i = 0;i < var;i++)
        {
            int num;
            scanf("%d",&num);
            for(int j = 0;j < num;j++)
            {
                int nn;
                scanf("%d",&nn);
                b[nn-1][i] = 1;
            }
        }
        scanf("%d",&m);
        printf("Case %d:\n",kase++);
        while(m--)
        {
            memcpy(a,b,sizeof(b));
            for(int i = 0;i < n;i++)
            {
                scanf("%d",&a[i][var]);
            }
            int ans = Gauss(n,var);
            if(ans == -1)
                printf("0\n");
            else if(ans == 0)
                printf("1\n");
            else
                printf("%I64d\n",1LL<<ans);
        }
    }
    return 0;
}