2020牛客暑假多校训练营 第二场 E Exclusive OR FWT

LINK：Exclusive OR

没做出 原因前面几篇说过了.

根据线性基的知识容易推出 不超过\(w=log Mx\)个数字即可拼出最大值 其中Mx为值域.

那么考虑w+2个数字显然也为最大值...

现在要处理的是 \(1~w-1,w+1,w+3,w+5...\)这些位置上的值怎么求.

i个数字异或出来的最大值 且一个数字可以重复使用.

那么其实设\(f_{i,j}\)表示利用i个数字能否异或出j来 那么这个转移其实是异或卷积.

直接上FWT即可。

考虑\(w+1\)的值是什么 也不太好求 也上FWT.

那么\(w+3\)的值？可以发现有可能和\(w+1\)相等.

此时可能存在疑问 是否存在原来的集合中不存在0 但是三个数字异或出来为0 这样在以后的值都为最大值.

我给出的解释是：如果存在这样的情况 考虑联系线性基 那么其实就是线性基中一堆数字可以异或出某个数字 然后 考虑其中的一个秩 且对答案造成贡献 处理到第19位时 其他数字可以异或成这个秩也一定可以异或出来。

所以这样推没有问题。虽然证明不太严谨 但是理论上就是这样的。

同理 5,7个也可以这样解释.

code

//#include<bits\stdc++.h>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<bitset>
#include<set>
#include<map>
#define ll long long
#define db double
#define INF 10000000000000000ll
#define ldb long double
#define pb push_back
#define put_(x) printf("%d ",x);
#define get(x) x=read()
#define gt(x) scanf("%d",&x)
#define gi(x) scanf("%lf",&x)
#define put(x) printf("%d\n",x)
#define putl(x) printf("%lld\n",x)
#define gc(a) scanf("%s",a+1)
#define rep(p,n,i) for(RE int i=p;i<=n;++i)
#define go(x) for(int i=lin[x],tn=ver[i];i;tn=ver[i=nex[i]])
#define fep(n,p,i) for(RE int i=n;i>=p;--i)
#define vep(p,n,i) for(RE int i=p;i<n;++i)
#define pii pair<int,int>
#define mk make_pair
#define RE register
#define P 1000000007
#define gf(x) scanf("%lf",&x)
#define pf(x) ((x)*(x))
#define uint unsigned long long
#define ui unsigned
#define EPS 1e-4
#define sq sqrt
#define S second
#define F first
#define mod 1000000007
#define V vector<int>
using namespace std;
char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc()
{
    return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
}
inline int read()
{
    RE int x=0,f=1;RE char ch=getc();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getc();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getc();}
    return x*f;
}
const int MAXN=200010,maxn=1<<18;
int n,lim;
int a[maxn],b[maxn],c[maxn],ans[MAXN];
inline void FWT_xor(int *a,int op)
{
    for(int len=2;len<=lim;len=len<<1)
    {
        int mid=len>>1;
        for(int j=0;j<lim;j+=len)
        {
            vep(0,mid,i)
            {
                a[i+j]=a[i+j]+a[i+j+mid];
                a[i+j+mid]=a[i+j]-(a[i+j+mid]<<1);
                if(op==-1)a[i+j]>>=1,a[i+j+mid]>>=1;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    //freopen("1.in","r",stdin);
    get(n);int mx=0;
    rep(1,n,i)
    {
        int get(x);a[x]=1;
        mx=max(mx,x);
    }
    ans[1]=mx;lim=1;
    while(lim<=mx)lim=lim<<1;
    FWT_xor(a,1);
    vep(0,lim,i)b[i]=a[i];
    rep(2,19,i)
    {
        vep(0,lim,j)b[j]=b[j]*a[j];
        FWT_xor(b,-1);mx=0;
        vep(0,lim,j)if(b[j])mx=j,b[j]=1;
        FWT_xor(b,1);ans[i]=mx;
    }
    rep(20,n,i)ans[i]=ans[i-2];
    rep(1,n,i)printf("%d ",ans[i]);
    return 0;
}

F比较简单 咕掉.