「单调队列优化DP」P2034 选择数字

「单调队列优化DP」P2034 选择数字

题面描述：

给定一行n个非负整数a[1]..a[n]。现在你可以选择其中若干个数，但不能有超过k个连续的数字被选择。你的任务是使得选出的数字的和最大。

输入格式

第一行两个整数n，k

以下n行，每行一个整数表示a[i]。

输出格式

输出一个值表示答案。

输入输出样例

输入 #1

5 2

1

2

3

4

5

输出 #1

12

说明/提示

对于20%的数据，n <= 10

对于另外20%的数据， k = 1

对于60%的数据，n <= 1000

对于100%的数据，1 <= n <= 100000，1 <= k <= n，0 <= 数字大小 <= 1,000,000,000

时间限制500ms

解法

一般正常求序列几段和都要求前缀和，f的第一维都是前i项的最优值

那我们直接开始吧,

f[i]=max(f[j])+a[i] ( i-k<=j<i )

然鹅叫上去可能只对两个点（可能连样例都不过），原因是方程都错了，少了一维，i不一定选取就是最佳选择，如1 8 4 2 999 k=2，显然不选4要更优， 所以正确的转移方程:

//0表示不选第i个数，1表示选第i个数

f[0][i]=max(f[0][i-1],f[1][i-1]);

f[1][i]=max(f[0][j]-sum[j])+sum[i];

亲测O(n*n)+快读能压线过

所以考虑优化

我们用单调队列维护f[0][j]-sum[j]的最优值，因为它完全符合单调性，维护就完事

代码：

/*#!/bin/sh
dir=$GEDIT_CURRENT_DOCUMENT_DIR
name=$GEDIT_CURRENT_DOCUMENT_NAME
pre=${name%.*}
g++ -O2 $dir/$name -o $pre -g -Wall -std=c++11
if test $? -eq 0; then
    gnome-terminal -x bash -c "time $dir/$pre;echo;read;"
fi*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=1e6+5,INF=0x3f3f3f3f;
inline int read(){
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();};
	while(ch>='0'&&ch<='9')s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
	return s*w;
}
int n,d,a[maxn],head=1,tail;
long long sum[maxn],f[2][maxn],q[maxn];//每个数有1e9诶
int main(){
	n=read();d=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	f[1][1]=a[1];tail++;//tail=0需要初始化，tail=1就不需要，推荐写tail=0
	for(int i=2;i<=n;i++){
		f[0][i]=max(f[0][i-1],f[1][i-1]);//不选第i个数的情况
		while(head<=tail&&i-q[head]>d)head++;//维护队首，i-k>j(q[head])
		f[1][i]=f[0][q[head]]-sum[q[head]]+sum[i];
		while(head<=tail&&f[0][i]-sum[i]>f[0][q[tail]]-sum[q[tail]])tail--;//维护队列单调性，新数大于原数就出队
		q[++tail]=i;
	}
	cout<<max(f[0][n],f[1][n]);

}