HMM条件下的 前向算法 和 维特比解码

一、隐马尔科夫HMM如果：

有且仅仅有3种天气：0晴天。1阴天。2雨天

各种天气间的隔天转化概率mp：

mp[3][3]	晴天	阴天	雨天
晴天	0.33333	0.33333	0.33333
阴天	0.33333	0.33333	0.33333
雨天	0.33333	0.33333	0.33333

有2种活动：            0去公园，1不去公园

各种天气下进行各种活动的概率：

w2a[3][2]	去公园	不去公园
晴天	0.75	0.25
阴天	0.4	0.6
雨天	0.25	0.75

观察5天的活动序列：0 0 1 0 1 ；（0去公园，1不去公园）

5天的动作观察序列 O[5]
1天	2天	3天	4天	5天
去公园	去公园	不去	去公园	不去
0	0	1	0	1

第0天的天气概率pi：

pi[3]	第0天天气概率
晴天	0.5
阴天	0.3
雨天	0.2

定义几个宏及变量表示HMM：

#define T 5        //观察N天
#define M 3        //每天可能有M种天气
#define N 2        //动作种类。去公园+不去公园
float mp[M][M];    //相邻两天的天气转换概率
float w2a[M][N];   //weather to action，各天气下採取各动作的概率
int O[T];          //N天观察到的天气序列
int bestPath[T][M];//bestPath[t][i]表示 （第t天处于第i种天气状态且出现“O0-Ot”观察序列的概率最大的）路径在时间t-1时刻的天气状态
float pi[M];       //一个M维向量，表示第一天各种天气出现的概率

二、前向算法--出现观察动作序列的概率

即求出现：“1去公园，2去公园，3不去公园，4去公园，5不去公园” 动作序列的概率。

这是一个求和问题。用DP思想的前向算法解决。

1、构造矩阵float sumP[T][M];

sumP[t][i]表示：在时间t，处于天气i，且出现观察动作序列O0-Ot的概率

2、填表求解过程：

        //初始表
	for(i=0; i<M; i++)
	{
		sumP[0][i] = pi[i]*w2a[ i ][ O[0] ];
	}
	//填表
	for(t=1; t<T; t++)
	{
		for (i=0; i<M; i++)
		{
			sumP[t][i]=0;
			for (j=0; j<M; j++)
			{
				sumP[t][i] += sumP[t-1][j]*mp[j][i]*w2a[ i ][ O[t] ];
			}
		}
	}

求观察序列出现概率：

float sumPP=0;
	for(i=1;i<M;i++)
	{
		sumPP += sumP[T-1][i];
	}
	cout<<"使用前向算法算出，观察序列的出现概率为"<<sumPP<<endl;

三、维特比解码-哪种天气下出现观察动作序列的概率最大

在哪种天气序列下，出现观察序列的概率最大，并求 （出现该天气序列和观察动作序列事件）的最大概率。

这是最优化问题，DP思想求最大，採用维特比解码

1、构造矩阵maxP[T][M]

maxP[t][j], 算出第t天处于第i状态且出现观察序列O0~Ot的路径中，（出现天气路径和观察路径）概率最大的路径的概率。

bestPath[t][i],表示是第t天，天气状态为i状态出现观察序列O0~Ot的最大概率路径下（即取得maxP[t][i]）。第t-1天的天气状态。

2、填表过程：

//初始表
	float maxpp=0;
	int   maxPre=0;
	for(i=0;i<M;i++)
	{
		maxP[0][i] = pi[i]*w2a[ i ][ O[0] ];
		if(maxP[0][i]>maxpp)
		{
			bestPath[0][i]=-1;
			maxpp=maxP[0][i];
		}
	}
	//后填表
	for(t=1;t<T;t++)    //每一天
	{
		for(i=0;i<M;i++)//maxP[t][j],要算出第t天处于第i状态且出现观察序列O0~Ot的路径中，（出现天气路径和观察路径）概率最大的路径的概率
		{
			maxpp=0;
			maxPre=0;
			for(j=0;j<M;j++)//第t-1天,天气为第j状态
			{
				float temp = maxP[t-1][j]*mp[j][i]*w2a[i][O[t]];
				if(temp > maxpp)
				{
					maxpp  = temp;
					maxPre = j;
				}
			}
			maxP[t][i]     = maxpp;
			bestPath[t][i] = maxPre;
		}
	}

输出最大概率及其天气路径：

        float maxEndP=0;
	int lastChoice;
	for(i=0; i<M; i++)
	{
		if(maxP[T-1][i] > maxEndP)
		{
			maxEndP    = maxP[T-1][i];
			lastChoice = i;
		}
	}
	cout<<"最大的概率为:"<<maxEndP<<endl;
	cout<<"全部路径中，出现观察序列概率的最大的天气路径为："<<endl;
	cout<<lastChoice<<" ";
	for(t=T-1; t>0; t--)
	{
		cout<<bestPath[t][lastChoice]<<" ";
		lastChoice = bestPath[t][lastChoice];
	}
	cout<<endl;

四、代码：

#include<iostream>
using namespace std;
#define T 5       //观察N天
#define M 3        //每天可能有M种天气
#define N 2        //动作种类，去公园+不去公园
float mp[M][M];    //相邻两天的天气转换概率
float w2a[M][N];   //weather to action，各天气下採取各动作的概率
int O[T];          //N天观察到的天气序列
int bestPath[T][M];//bestPath[t][i]表示 （第t天处于第i种天气状态且出现“O0-Ot”观察序列的概率最大的）路径在时间t-1时刻的天气状态
float pi[M];       //一个M维向量，表示第一天各种天气出现的概率，【通常包括一个1，其余为0】
void initHMM()
{
	int i,j,k;
	//输入天气转移概率
	for(i=0; i<M; i++)
	{
		for(j=0;j<M;j++)
		{
			cin>>mp[i][j];
		}
	}
	//输入各天气下，採取不同动作的概率
	for(i=0; i<M; i++)
	{
		for(j=0; j<N; j++)
		{
			cin>>w2a[i][j];
		}
	}
	//输入pi
	for(i=0; i<M; i++)
	{
		cin>>pi[i];
	}
	//输入观察序列
	for(i=0; i<T; i++)
	{
		cin>>O[i];
	}
}
/*维特比算法
已知HMM模型，转移概率（天气转换概率），初始状态（第0天的天气或天气概率），各天气下採取各动作的概率。观察序列（动作序列）
1.求出(使观察序列出现概率最大的)天气路径,
即在那种天气序列下。出现观察序列的概率最大
2.求出 （出现天气路径且出现观察序列的事件）的最大概率
这是一种最优化问题，求最大，DP思想
*/
float viterbi()
{
	float maxP[T][M];
	int i,j,t;
	//初始表
	float maxpp=0;
	int   maxPre=0;
	for(i=0;i<M;i++)
	{
		maxP[0][i] = pi[i]*w2a[ i ][ O[0] ];
		if(maxP[0][i]>maxpp)
		{
			bestPath[0][i]=-1;
			maxpp=maxP[0][i];
		}
	}
	//后填表
	for(t=1;t<T;t++)    //每一天
	{
		for(i=0;i<M;i++)//maxP[t][j],要算出第t天处于第i状态且出现观察序列O0~Ot的路径中。（出现天气路径和观察路径）概率最大的路径的概率
		{
			maxpp=0;
			maxPre=0;
			for(j=0;j<M;j++)//第t-1天,天气为第j状态
			{
				float temp = maxP[t-1][j]*mp[j][i]*w2a[i][O[t]];
				if(temp > maxpp)
				{
					maxpp  = temp;
					maxPre = j;
				}
			}
			maxP[t][i]     = maxpp;
			bestPath[t][i] = maxPre;
		}
	}

	float maxEndP=0;
	int lastChoice;
	for(i=0; i<M; i++)
	{
		if(maxP[T-1][i] > maxEndP)
		{
			maxEndP    = maxP[T-1][i];
			lastChoice = i;
		}
	}
	cout<<"最大的概率为:"<<maxEndP<<endl;
	cout<<"全部路径中，出现观察序列概率的最大的天气路径（逆序）为："<<endl;
	cout<<lastChoice<<" ";
	for(t=T-1; t>0; t--)
	{
		cout<<bestPath[t][lastChoice]<<" ";
		lastChoice = bestPath[t][lastChoice];
	}
	cout<<endl;
	return maxEndP;
}
/*
前向算法
已知HMM模型，转移概率（天气转换概率）。初始状态（第0天的天气或天气概率）。各天气下採取各动作的概率，观察序列（动作序列）
1.求出观察序列出现的概率为多大
即，在给定的初始天气，转移天气概率。及天气动作概率的条件下。出现观察到的动作概率是多少
这是一个加法求和问题，DP思想
*/
void forward()
{
	float sumP[T][M];
	//sumP[t][i]表示：在时间t。处于天气i，且出现观察动作序列O0-Ot的概率
	int t,i,j,k;
	//初始表
	for(i=0; i<M; i++)
	{
		sumP[0][i] = pi[i]*w2a[ i ][ O[0] ];
	}
	//填表
	for(t=1; t<T; t++)
	{
		for (i=0; i<M; i++)
		{
			sumP[t][i]=0;
			for (j=0; j<M; j++)
			{
				sumP[t][i] += sumP[t-1][j]*mp[j][i]*w2a[ i ][ O[t] ];
			}
		}
	}
	float sumPP=0;
	for(i=1;i<M;i++)
	{
		sumPP += sumP[T-1][i];
	}
	cout<<"使用前向算法算出。观察序列的出现概率为"<<sumPP<<endl;
}
int main()
{
	initHMM();
	viterbi();
	forward();
	system("pause");
}
/*
0.33333 0.33333 0.33333
0.33333 0.33333 0.33333
0.33333 0.33333 0.33333
0.75 0.25
0.4 0.6
0.25 0.75
0.5 0.3 0.2
0 0 1 0 1
*/

五、执行结果：

0.33333 0.33333 0.33333

0.33333 0.33333 0.33333

0.33333 0.33333 0.33333

0.75 0.25

0.4 0.6

0.25 0.75

0.5 0.3 0.2

0 0 1 0 1

最大的概率为:0.00146479

全部路径中，出现观察序列概率的最大的天气路径为：

2 0 2 0 0

使用前向算法算出，观察序列的出现概率为0.0284842