解密SVM系列（二）：SVM的理论基础

上节我们探讨了关于拉格朗日乘子和KKT条件。这为后面SVM求解奠定基础，本节希望通俗的细说一下原理部分。

一个简单的二分类问题例如以下图：



我们希望找到一个决策面使得两类分开。这个决策面一般表示就是WTX+b=0,如今的问题是找到相应的W和b使得切割最好。知道logistic分类 机器学习之logistic回归与分类的可能知道，这里的问题和那里的一样。也是找权值。在那里，我们是依据每个样本的输出值与目标值得误差不断的调整权值W和b来求得终于的解的。当然这样的求解最优的方式仅仅是当中的一种方式。那么SVM的求优方式是如何的呢？

这里我们把问题反过来看，如果我们知道了结果。就是上面这样的分类线相应的权值W和b。

那么我们会看到，在这两个类里面，是不是总能找到离这个线近期的点。向以下这样：



然后定义一下离这个线近期的点到这个分界面（线）的距离分别为d1,d2。

那么SVM找最优权值的策略就是，先找到最边上的点。再找到这两个距离之和D，然后求解D的最大值。想想如果依照这个策略是不是能够实现最优分类，是的。好了还是如果找到了这样一个分界面WTX+b=0,那么做离它近期的两类点且平行于分类面，如上面的虚线所看到的。

好了再如果我们有这两个虚线。那么真实的分界面我们觉得正好是这两个分界面的中间线，这样d1就等于d2了。由于真实的分界面为WTX+b=0，那么就把两个虚线分别设置为WTX+b=1和WTX+b=−1能够看到虚线相对于真实面仅仅是上下移动了1个单位距离。可能会说你怎么知道正好是一个距离？确实不知道，就如果上下是k个距离吧，那么如果上虚线如今为WTX+b=k。两边同一时候除k能够吧，这样上虚线还是能够变成WT1X+b1=1,同理下虚线也能够这样。然后他们的中线就是WT1X+b1=0吧。能够看到从k到1。权值无非从w变化到w1,b变到b1,我在让w=w1,b=b1，不是又回到了起点吗。也就是说，这个中间无非是一个倍数关系。所以我们仅仅须要先确定使得上下等于1的距离，再去找这一组权值。这一组权值会自己主动变化到一定倍数使得距离为1的。

好了再看看D=d1+d2怎么求吧，如果分界面WTX+b=0。再如果X是两维的。那么分界面再细写出来就是：w1x1+w2x2+b=0。上分界线：w1x1+w2x2+b=1，这是什么。两条一次函数（y=kx+b）的曲线是不是，那么初中就学过两直线的距离吧，d=|c2−c1|w21+w22−−−−−−−√=1||W||

这里W=(w1,w2)，是个向量，||W||为向量的距离。那么||W||2=WTW。下界面同理。

这样D=d1+d2=2||W||=2WTW−−−−−√等效2WTW,要使D最大。就要使分母最小。这样优化问题就变为min(12WTW),乘一个系数0.5没影响，可是在后面却实用。

我们知道。如果一个一次函数分界面为WTX+b=0，那么线上方的x能够使得WTX+b>0,下方的x能够使得WTX+b<0吧。那么对于上界面以上的点就有WTX+b>1，下界面以下的点就有WTX+b<−1。我们如今再如果上界面以上的点的分类标签为1，下界面以下的点的分类标签为-1。

那么这两个不等式再分别乘以他们的标签会怎么样？是不是能够统一为yi(WTxi+b)≥1了（这也是为什么SVM在使用之前为什么要把两类标签设置为+1。-1，而不是0,1等等之类的了）。好了如果分界面一旦确定，是不是全部点都得满足这个关系。那么终于的带约束的优化问题转化为：

min12WTWs.t.yi(Wxi+b)≥1

把约束条件换成小于号的形式：

s.t.1−yi(Wxi+b)≤0

注意的是这可不是一个约束条件。而是对全部的每个样本xi都有一个这样的约束条件。

转换到这样的形式以后是不是非常像上节说到的KKT条件下的优化问题了。就是这个。

可是有一个问题。我们说上节的KKT是在凸函数下使用的，那么这里的目标函数是不是呢？答案是的。想想WT∗W，函数乘出来应该非常单一，不能有非常多极点，当然也也能够数学证明是的。

好了那样的话就能够引入拉格朗日乘子法了，优化的目标变为：

L(w,b,α)=12wTw+α1h1(x)+...+αnhn(x)=12wTw−α1[y1(wx1+b)−1]−...−αn[yn(wxn+b)−1]=12wTw−∑i=1Nαiyi(wxi+b)+∑i=1Nαi

然后要求这个目标函数最优解，求导吧，

∂L∂w=w−∑i=1Nαiyixi=0⇒w=∑i=1Nαiyixi∂L∂b=−∑i=1Nαiyi=0⇒∑i=1Nαiyi=0

这两个公式非常重要。简直是核心公式。

求导得到这个应该非常easy吧，那我问你为什么WTW对w求导是w呢？如果你知道，那么你非常厉害了，反正開始我是一直没转过来。

事实上说起来也非常easy。如果光去看看为什么求导以后，转置就没了。不太好想明确，设想一下如果如今是二维样本点。也就是终于的W=(w1,w2)。那么WTW=w1∗w1+w2∗w2那么对w1求导就是2w1,对w2就是2w2,这样写在一起就是对w求导得到(2w1,2w2)=2w了。然后乘前面一个1/2（这也就是为什么要加一个1/2），就变成w了。

好了得到上面的两个公式，再带回L中把去w和b消掉，你又可能发现，w确实能够消，由于有等式关系，那b怎么办？上述对b求导的结果居然不含有b，上天在开玩笑吗？事实上没有，尽管没有b，可是有那个求和为0呀，带进去你会惊人的发现。b还真的能够消掉，就是由于了那个等式。

简单带下：

W(α)=L(w,b,α)=12(∑i=1Nαiyixi)T(∑j=1Nαjyjxj)−∑i=1Nαiyi((∑i=1Nαiyixi)xi+b)+∑i=1Nαi=12(∑i,j=1Nαiyiαjyjxi∗xj)−∑i,j=1Nαiyiαjyjxi∗xj+b∑i=1Nαiyi+∑i=1Nαi=−12(∑i,j=1Nαiyiαjyjxi∗xj)+∑i=1Nαi

那么求解最最開始的函数的最小值等价到这一步以后就是求解W的最大值了，由于使用了拉格朗日乘子法后，原问题就变为其对偶问题了，最小变成了最大，至于为什么，等到具体研究过对偶问题再来解释吧。不了解的。仅仅须要知道求W的极值就可以。

整理一下。经过这么一圈的转化。终于的问题为：

maxW(α)=−12(∑i,j=1Nαiyiαjyjxi∗xj)+∑i=1Nαis.t.αi≥0∑i=1Nαiyi=0

为什么有αi≥0,这是上节说到的KKT条件的必须。至此问题来源部分到这。

细心的你肯可能会发现。上述全部的构造等等都是在数据全然线性可分，且分界面全然将两类分开。那么如果出现了以下这样的情况：



正负两类的最远点没有明显的分解面，搞不好正类的最远点反而会跑到负类里面去了，负类最远点跑到正类里面去了，要是这样的话，你的分界面都找不到。由于你不可能找到将它们全然分开的分界面，那么这些点在实际情况是有的。就是一些离群点或者噪声点，由于这一些点导致整个系统用不了。当然如果不做不论什么处理确实用不了。可是我们处理一下就能够用了。SVM考虑到这样的情况，所以在上下分界面上增加松弛变量ϵi,觉得如果正类中有点到上界面的距离小于ϵi，那么觉得他是正常的点。哪怕它在上界面略微偏下一点的位置，同理下界面。还是以上面的情况，我们目測下的是理想的分解面应该是以下这样的情况：



如果依照这样的分会发现4个离群点。他们到自己相应分界面的距离表示如上，理论上讲，我们给每个点都给一个自己的松弛变量ϵi，如果一个分界面求出来了，那么比較这个点到自己相应的界面（上、下界面）的距离是不是小于这个值，要是小于这个值。就觉得这个界面分的能够，比方上面的ϵ3这个点。尽管看到明显偏离了正轨，可是计算发现它的距离d小于等于我们给的ϵ3，那么我们说这个分界面能够接受。你可能会说那像上面的ϵ10，距离那么远了，他肯定是大于预设给这个点的ϵi了对吧，确实是这样的，可是我们还发现什么？这个点是分对了的点呀。所以你管他大不大于预设值，反正不用调整分界面。

须要调整分界面的情况是仅仅有当相似ϵ3这样的点的距离大于了ϵ3的时候。

好了那么由于松弛变量的增加。导致每个点的约束条件就变化了点，像上界面以上的点，它满足的条件可能就是：WTxi+b≥1−ϵi,yi=1

而下界面可能就是：WTxi+b≤−1+ϵi,yi=−1

而且ϵi≥0。

统一在一起，整个问题就变成：

min12WTW+C∑i=1Nϵis.t.1+ϵi−yi(Wxi+b)≤0ϵi≥0

你发现目标函数里面多了一点东西。而加上这个是合理的，我们在优化的同一时候。也使得总的松弛变量之和最小。常数C决定了松弛变量之和的影响程度。如果越大，影响越严重。那么在优化的时候会很多其它的注重全部点到分界面的距离，优先保证这个和小。

好了将问题写在一起吧：

L(x,α,β)=12WTW−∑i=1Nαi(yi(Wxi+b)+ϵi−1)+C∑i=1Nϵi−∑i=1Nriϵi

然后对w,b,ϵ分别求导数：

∂L∂w=w−∑i=1Nαiyixi=0⇒w=∑i=1Nαiyixi∂L∂b=−∑i=1Nαiyi=0⇒∑i=1Nαiyi=0∂L∂ϵi=0⇒C−αi−ri=0

观察第三个式子，由于ri≥0,所以c−αi≥0⇒αi≤C,结合αi≥0那么0≤αi≤C,把这三个导数结果带到目标函数中去消掉相应的w，b以及ri,你会惊人的发现。连ϵi也消掉了。而且目标函数和没有加松弛变量的一模一样：

W(α)=−12(∑i,j=1Nαiyiαjyjxi∗xj)+∑i=1Nαi

这么说。溜了一圈下来。无非多了个αi≤C,其它的什么也没有变，真好。那么统一一下。更一般的带松弛变量的优化函数以及约束条件就变为：

W(α)=−12(∑i,j=1Nαiyiαjyjxi∗xj)+∑i=1Nαis.t.0≤αi≤C∑i=1Nαiyi=0

剩下的问题是怎么去找这样一组最优解αi了。

看过上节的可能会知道。在上节的最后那个实例中也是寻找αi。只是那里仅仅有两个αi。而αi要么等于0。要么大于0。而αi大于0的时候，相应的另外一个因子就等于0。

然后讨论这四种情况找到满足解。

可是我们这里的αi可不止2个，想挨着讨论是不行的，且这里的KKT条件和上节的那个还不太一样。那么这里的KKT条件是什么呢？具体又要怎么解这样一堆αi的问题呢？请看下节的SMO算法求解SVM问题。