线代第六章定义&定理整理(持续更新中)
Chapter 6
6.1 Inner Products and Norms
Definition (inner product).
Let V be a vector space over F. An inner product on V is a function that assigns, to every ordered pair of vectors x and y in V, a scalar in F, denoted \(⟨x,y⟩\), such that for all x, y, and z in V and all c in F, the following hold:
(a) \(⟨x + z,y⟩ = ⟨x,y⟩ + ⟨z,y⟩.\)
(b) $⟨cx,y⟩=c⟨x,y⟩. $
(c) \(\overline{⟨x, y⟩} = ⟨y, x⟩,\) where the bar denotes complex conjugation.
(d) \(⟨x,x⟩>0\) if \(x \neq 0\).
Definition (conjugate transpose).
Let \(A ∈ M_{m×n}(F)\). We define the conjugate transpose or adjoint of A to be the \(n×m\) matrix \(A^∗\) such that \((A^∗)_{ij} = \overline{A_{ji}}\) for all \(i,j\).
Definition (inner product space).
A vector space \(V\) over \(F\) endowed with a specific inner product is called an inner product space. If \(F = C\), we call V a complex inner product space, whereas if \(F = R\), we call \(V\) a real inner product space.
Definition of some inner products.
Frobenius Inner product: \(\langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{*} A\right) \text { for } A, B \in M_{n\times n}(F).\)
实际上就是\(\langle A, B\rangle=\sum_{i}\sum_{j}A_{ij}\overline{B_{ij}}\)。
Standard inner product on \(F^n\): \(x=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)\) and \(y=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)\) in \(\mathrm{F}^{n}\), \(\langle x, y\rangle=\sum_{i=1}^{n} a_{i} \bar{b}_{i}\).
实际上和Frobenius inner product是一个东西。
H of continuous complex-valued functions defined on the interval \([0, 2π]\): \(\langle f, g\rangle=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) \overline{g(t)} d t\).
Theorem 6.1.
Let V be an inner product space. Then for x, y, z ∈ V and c ∈ F , the following statements are true.
(a) \(⟨x,y + z⟩\) = \(⟨x,y⟩\) + \(⟨x,z⟩\).
(b) \(⟨x,cy⟩=\overline c⟨x,y⟩\).
(c) \(⟨x,0⟩ = ⟨0,x⟩ = 0\).
(d) \(⟨x,x⟩=0\) if and only if \(x=0\).
(e) If \(⟨x,y⟩=⟨x,z⟩\) for all \(x∈V\), then \(y=z\).
性质(a)和(b)统称conjugate linear,注意不要漏写共轭。
Definition (norm).
Let \(V\) be an inner product space. For \(x ∈ V\), we define the
线代第六章定义&定理整理(持续更新中)的更多相关文章
- java视频教程 Java自学视频整理(持续更新中...)
视频教程,马士兵java视频教程,java视频 1.Java基础视频 <张孝祥JAVA视频教程>完整版[RMVB](东西网) 历经5年锤炼(史上最适合初学者入门的Java基础视频)(传智播 ...
- docker学习资料整理(持续更新中..)
docker最近可以说火得一踏糊涂,跟 51大神在交流技术的时候这个东西会多次被提到,当我们还玩vm+linux/freebsd的时候,人家已经上升到更高层次了,这就是差距,感觉好高大上的样子,技术之 ...
- “全栈2019”Java第十六章:下划线在数字中的意义
难度 初级 学习时间 10分钟 适合人群 零基础 开发语言 Java 开发环境 JDK v11 IntelliJ IDEA v2018.3 文章原文链接 "全栈2019"Java第 ...
- 2018年最新Java面试题及答案整理(持续完善中…)
2018年最新Java面试题及答案整理(持续完善中…) 基础篇 基本功 面向对象特征 封装,继承,多态和抽象 封装封装给对象提供了隐藏内部特性和行为的能力.对象提供一些能被其他对象访问的方法来改变它内 ...
- BAT 前端开发面经 —— 吐血总结 前端相关片段整理——持续更新 前端基础精简总结 Web Storage You don't know js
BAT 前端开发面经 —— 吐血总结 目录 1. Tencent 2. 阿里 3. 百度 更好阅读,请移步这里 聊之前 最近暑期实习招聘已经开始,个人目前参加了阿里的内推及腾讯和百度的实习生招聘, ...
- iOS --- 总结Objective-C中经常使用的宏定义(持续更新中)
将iOS开发中经常使用的宏定义整理例如以下,仅包括Objective-C. 而对于Swift,不能使用宏,则能够定义全局函数或者extension.请參考博客iOS - 总结Swift中经常使用的全局 ...
- 一些JavaSE学习过程中的思路整理(主观性强,持续更新中...)
目录 一些JavaSE学习过程中的思路整理(主观性强,持续更新中...) Java书写规范 IDEA的一些常用快捷键 Java类中作为成员变量的类 Java源文件中只能有一个public类 Java中 ...
- 数据结构代码整理(线性表,栈,队列,串,二叉树,图的建立和遍历stl,最小生成树prim算法)。。持续更新中。。。
//归并排序递归方法实现 #include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; #define maxn 100 ...
- 常见 git 需求整理(持续更新中)
首发于 语雀文档 突然感觉自己对 git 还是挺熟悉的,因为团队里新来的七八号应届生来问我 git 问题,基本没有答不上的情况,但为了能更好地对知识进行整理,还是记录一下为好. (希望能)持续更新.. ...
随机推荐
- MySQL 中的字符串类型
字符类型包括: CHAR VARCHAR BINARY VARBINARY BLOB TEXT ENUM SET CHAR 与 VARCHAR CHAR(m) m 取值范围 0-255.列宽固定,存储 ...
- LabVIEW工控二进制数据存储
在文件存储的逻辑上,二进制文件基于值编码,而不是字符编码,其占用空间小,读取/写入速度快,但是译码比较复杂,不利用数据共享.根据具体编码方式的不同,二进制的使用方式也有所不同,如对bmp格式,规定了文 ...
- CSS3/CSS之居中解析(水平+垂直居中、水平居中,垂直居中)
首先,我们来看下垂直居中: (1).如果是单行文本,则可以设置的line-height的数值,让其等于父级元素的高度! <!DOCTYPE html> <html lang=&quo ...
- 推荐一款适合Dynamics 365/Dynamics CRM 2016 使用的弹出窗插件AlertJs
Github地址: https://github.com/PaulNieuwelaar/alertjs 目前有两个版本,3.0版本(30天免费试用)以及2.1版本(完全免费) ------------ ...
- Android 工程的创建
还望支持个人博客站:http://www.enjoytoday.cn 本章节主要介绍如何开始Android工程的创建和android开发过程中需要的一些简单的技巧和知识.首篇文章主要介绍如何开始And ...
- 8.python3实用编程技巧进阶(三)
3.1.如何实现可迭代对象和迭代器对象 #3.1 如何实现可迭代对象和迭代器对象 import requests from collections.abc import Iterable,Iterat ...
- 使用ML.NET进行自定义机器学习
ML.NET是Microsoft最近发布的用于机器学习的开源,跨平台,代码优先的框架.尽管对我们来说是一个新的框架,但该框架的根源是Microsoft Research,并且在过去十年中已被许多内部团 ...
- 开源敏捷测试管理& 开源BUG跟踪管理软件itest(爱测试) V3.3.1小改紧急发布及正实现功能预告
v3.3.1 下载地址 :itest下载 码云源码地址 https://gitee.com/itestwork/itest 开源中国 itest项目地址 https://www.oschina. ...
- ACM-冒泡排序
将多组输入数据进行冒泡排序,并去除相同的数据 #include <iostream> #include <vector> using namespace std; void R ...
- blue bossa
blue bossa