【洛谷2791】幼儿园篮球题（第二类斯特林数，NTT）

【洛谷2791】幼儿园篮球题（第二类斯特林数，NTT）

题面

洛谷

题解

对于每一组询问，要求的东西本质上就是：

\[\sum_{i=0}^{k}{m\choose i}{n-m\choose k-i}i^L
\]

如果没有后面那个部分，就是一个范德蒙恒等式，所以就要把这个\(i^L\)直接拆掉。

然后直接拿第二类斯特林数来拆：

\[i^L=\sum_{j=0}^L\begin{Bmatrix}L\\j\end{Bmatrix}{i\choose j}j!
\]

于是就把答案拆成了：

\[\begin{aligned}
Ans&=\sum_{i=0}^k{m\choose i}{n-m\choose k-i}i^L\\
&=\sum_{i=0}^{k}{m\choose i}{n-m\choose k-i}\sum_{j=0}^L\begin{Bmatrix}L\\j\end{Bmatrix}{i\choose j}j!\\
&=\sum_{j=0}^L\begin{Bmatrix}L\\j\end{Bmatrix}j!\sum_{i=0}^{k}{m\choose i}{n-m\choose k-i}{i\choose j}
\end{aligned}\]

然后发现\(\displaystyle {m\choose i}{i\choose j}={m\choose j}{m-j\choose i-j}\)

然后就有：

\[\begin{aligned}
Ans&=\sum_{j=0}^L\begin{Bmatrix}L\\j\end{Bmatrix}j!{m\choose j}\sum_{i=0}^{k}{n-m\choose k-i}{m-j\choose i-j}\\
&=\sum_{j=0}^L\begin{Bmatrix}L\\j\end{Bmatrix}j!{m\choose j}{n-j\choose k-j}\\
\end{aligned}\]

这样子可以做到单次\(O(L)\)。

于是预处理第二类斯特林数就行了。

这题不知道为什么要卡常，不太理解卡常的意义合在......

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 998244353
#define MAX 524288
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}
int W[MAX],r[MAX];
void NTT(int *P,int opt,int len)
{
	int l=0,N;for(N=1;N<len;N<<=1)++l;
	for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	for(int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
	for(int i=1;i<N;i<<=1)
	{
		int w=fpow(3,(MOD-1)/(i<<1));W[0]=1;
		for(int k=1;k<i;++k)W[k]=1ll*W[k-1]*w%MOD;
		for(int j=0,p=i<<1;j<N;j+=p)
			for(int k=0;k<i;++k)
			{
				int X=P[j+k],Y=1ll*W[k]*P[i+j+k]%MOD;
				P[j+k]=(X+Y)%MOD;P[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
			}
	}
	if(opt==-1)
	{
		reverse(&P[1],&P[N]);
		for(int i=0,inv=fpow(N,MOD-2);i<N;++i)P[i]=1ll*P[i]*inv%MOD;
	}
}
int n,m,T,L;
int A[MAX],B[MAX],S[MAX];
int jc[20000010],jv[20000010];
int C(int n,int m){if(n<m||n<0||m<0)return 0;return 1ll*jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;}
int main()
{
	n=read();m=read();T=read();L=read();
	jc[0]=jv[0]=jv[1]=1;int mx=max(L,n);
	for(int i=1;i<=mx;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;jv[mx]=fpow(jc[mx],MOD-2);
	for(int i=mx-1;i;--i)jv[i]=1ll*jv[i+1]*(i+1)%MOD;
	for(int i=0,d=1;i<=L;++i,d=MOD-d)A[i]=1ll*d*jv[i]%MOD;
	for(int i=0;i<=L;++i)B[i]=1ll*fpow(i,L)*jv[i]%MOD;
	int N;for(N=1;N<=L+L;N<<=1);
	NTT(A,1,N);NTT(B,1,N);
	for(int i=0;i<N;++i)S[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD;
	NTT(S,-1,N);
	while(T--)
	{
		int N=read(),M=read(),K=read(),ans=0,Lim=min(L,min(M,min(N,K)));;
		for(int i=0;i<=Lim;++i)ans=(ans+1ll*S[i]*jv[M-i]%MOD*jc[N-i]%MOD*jv[K-i])%MOD;
		ans=1ll*ans*jc[M]%MOD*jv[N]%MOD*jc[K]%MOD;
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}