[nfls338]基本字典子串

1.前置知识

以下数字未特殊说明，取值范围均与$N$​​​取交

以下字符串未特殊说明，下标均从1开始，且均为非空串，复杂度中的$n$​​​指字符串长度

周期和border

对于非空集合$S$，定义$\min S$为$S$​中最小的元素，$\max S$为$S$中最大的元素

对于字符串$s$​​，记其长度为$|s|$​​，$s_{i}$​​表示第$i$​​个字符，$s[l,r]$​​表示区间$[l,r]$​​​构成的子串

周期：$1\le x\le |s|$​​为$s$​​的周期当且仅当$\forall 1\le i\le |s|-x,s_{i}=s_{i+x}$​​

记$per(s)$​​为$s$​​​​​​​​​所有周期构成的集合，当$s$​非空时显然$|s|\in per(s)$，即$per(s)\ne \empty$

border：对于$0\le x<|s|$​​​，$s[1,x]$​​​为$s$​​​​​的border当且仅当$s[1,x]=s(|s|-x,|s|]$​​

关于周期和border，显然有以下性质——

性质1：若$x\in per(s)$​​，则$\forall x\le |s[l,r]|,x\in per(s[l,r])$​​

性质2：若$x\in per(s)$，则$\forall 1\le kx\le |s|,kx\in per(s)$

性质3：$x\in per(s)$​​​当且仅当$s[1,|s|-x]$​​为$s$​​​的border

性质4：若$x\in per(s)$，则$\forall y\mid x$且$y\in per(s[l,r])$（其中$x\le |s[l,r]|$），有$y\in per(s)$​

考虑$1\le i\le |s|-y$​，由于$|s[l,r]|\ge x$​，总存在$l\le j\le r$​使得$i\equiv j(mod\ x)$​

接下来，对$j$分类讨论：

1.若$l\le j\le r-y$，即有$s_{i}=s_{j}=s_{j+y}=s_{i+y}$​

2.若$r-y<j\le r$​，则$j>l+(x-y)$​，即有$s_{i}=s_{j}=s_{j-(x-y)}=s_{i+y}$​

综上，可得$y\in per(s)$，即得证

进一步的，还可以得到以下结论——

结论1：若$x,y\in per(s)$​​​且$x+y\le |s|$，则$\gcd(x,y)\in per(s)$

不妨假设$x<y$​，考虑$1\le i\le |s|-(y-x)$，对$i$​分类讨论：

1.若$1\le i\le x$，则$i+y\le |s|$，即有$s_{i}=s_{i+y}=s_{i+(y-x)}$

2.若$x<i\le |s|-(y-x)$​，即有$s_{i}=s_{i-x}=s_{i+(y-x)}$

综上，可得$y-x\in per(s)$

注意到$\gcd(x,y)=\gcd(x,y-x)$​，由此归纳即得证

推论1：若$x=\min per(s)$，则$\forall y\in per(s)$且$x+y\le |s|$，有$x\mid y$

由于$x+y\le |s|$​，根据结论1即$\gcd(x,y)\in per(s)$​

由$x$​​的最小性有$x\le \gcd(x,y)$​​​，同时$x\ne 0$​​，即$\left(x=\gcd(x,y)\right)\mid y$​​

推论2：$per(s)$​​中不超过$\frac{|s|}{2}$​​的元素构成等差数列

令$S=\{x\mid x\le \frac{|s|}{2}$​且$x\in per(s)\}$​，若$S=\empty$​显然成立，下面考虑$S\ne \empty$​时

令$x=\min S$​​​​​，任取$y\in S$​​​​​（不要求$y\ne x$），根据推论1可得$x\mid y$

另一方面，根据性质2，显然这些$y\in S$​​，也即$S=\{y\mid 1\le y\le \frac{|s|}{2}$​​且$x\mid y\}$​​，显然为等差数列

结论2：若$2|s|\ge |t|$​​​，则$S=\{x\mid 0\le x\le |t|-|s|$​​​且$s=t(x,x+|s|]\}$​​​中的元素构成等差数列

若$|S|\le 2$显然成立，下面考虑$|S|\ge 3$​​​​时

对于$x\in S$和$x<y\le |t|-|s|$，$y\in S$显然等价于$s$是$t(x,y+|s|]$的border，进而又等价于$y-x\in per(t(x,y+|s|])$，显然$y-x\le |s|$，那么又可以推出$y-x\in per(s)$

令$x=\min S$​​​​​和$y=\min \complement_{S}\{x\}$​​​​，即有$y-x,z-y\in per(s)$​​​​，显然$(y-x)+(z-y)\le |s|$​​​​，那么根据结论1可得$d=\gcd(y-x,z-y)\in per(s)$​

注意到$d\le \min(y-x,z-y)\le \frac{z-x}{2}\le \frac{|s|}{2}$，令$p=\min per(s)$，同样有$p\le \frac{|s|}{2}$，那么根据推论1即有$p\mid d\mid (y-x),(z-y)$

同时$p\in per(s),y-x\in per(t(x,y+|s|])$，根据性质4可得$p\in per(t(x,y+|s|])$

由$p\mid (y-x)$​可知$p\le y-x$​，因此$p\in per(t(x,x+p+|s|])$​，即等价于$x+p\in S$​

再根据$y$​​​的最小性，有$x+p\ge y$​，同时$p\le y-x$​，也即有$p=(y-x)\mid (z-x)$​，显然$z=x+kp$​​

另一方面，记$z=\max S$，同理有$p\in per(t(x,z+|s|])$，也即有$\forall x+kp\le z,x+kp\in S$​

综上，即得证

推论2：（在结论2中）若$|S|\ge 3$，则该等差数列公差为$\min per(s)$​

证明参考"结论2"的证明

基本字典子串

考虑倍增求后缀数组的过程，记录其中倍增到$2^{m}$​​​​​​​​​时$s(i,i+2^{m}]$​​​​​​​​在所有$0\le i<|s|$​​​​​​​​中的排名$rk_{m}(i)$​​​​​​​​和排名为$i$​​​​​​​​​的集合$S_{m}(i)=\{j\mid rk_{m}(j)=i\}$​​​​

由此，即得到了基本字典子串的结构，构建时空复杂度均为$o(n\log n)$​

关于基本字典子串的一个应用，即快速比较$s[l_{1},r_{1}]$​​和$s[l_{2},r_{2}]$​​​​：

记$L_{i}=r_{i}-l_{i}+1$​​​，显然只需要比较前$L=\min(L_{1},L_{2})$​​​​个字符​​​

令$m$​​​​​​满足$2^{m}<L\le 2^{m+1}$​​​​​​，比较二元组$(rk_{m}(l-1),rk_{m}(r-2^{m}))$​​​​​​​即可，时间复杂度为$o(1)$​

进一步的，也可以将其拓展到trie树上，具体如下：

对于一棵trie树，定义$s(k,l)$表示从节点$k$向上$l$​步所构成的字符串

类似地，可以将基本字典子串拓展到trie树上，将原来的$s(i,i+2^{m}]$变为$s(i,2^{m})$​​即可

同样可以实现快速比较的功能，但此时还需要能快速找到$k$向上$l$步后的终点（即原来$r-2^{m}$​​的位置），可以用离线+dfs来实现

（论文中提到了"长链剖分+ladder"的做法，可以参考相关资料）

2.题目

题面

记$Bd(s)$​为$s$​非空border长度构成的集合​​，给定字符串$s$​​​​​​​​​​​，$q$​​​​​​​​​​​次询问$l$​​​​​​​​​和$r$​​​​​​​​​，求$\min Bd(s[l,r]),\max Bd(s[l,r])$和$|Bd(s[l,r])|$（特别的，若$Bd(s[l,r])=\empty$​​，输出-1）​​​​

$1\le |s|,q\le 2\times 10^{5}$​​​​​​​，$0\le l\le r<|s|$（$s$下标从0开始）​​​​​，字符集为小写字母

题解

不妨先不考虑区间的限制，即对整个串$s$​求上述信息

枚举$0\le m\le \lfloor\log_{2}|s|\rfloor$​​​​​，考虑求出$Bd(s)\cap [k,2k)$​​​​​（其中$k=2^{m}$​​​​​）：对于$k\le x<2k$​​​​​，显然$x\in Bd(s)$​​​​​当且仅当$x\ne |s|,s[1,k]=s(|s|-x,|s|-x+k]$​​且$s(x-k,x]=s(|s|-k,|s|]$​​​​​​

关于这两个条件，分别求出合法的$x$​​，然后求交即为$Bd(s)\cap [k,2k)$​​

定义$pos(l_{1},r_{1},l_{2},r_{2})=\{x\mid l_{2}\le x\le r_{2}-L_{1}$​​​​​​​且$s(l_{1},r_{1}]=s(x,x+L_{1}]\}$​​​​​​​（其中$L_{i}=r_{i}-l_{i}$​​​​​​​​​），那么问题即求$pos(0,k,|s|-2k+1,|s|)$​​​​​​​​​​​和$pos(|s|-k,|s|,0,2k-1)$​

特别的，在$m=\lfloor\log_{2}|s|\rfloor$​​​时，需要改为$pos(0,k,1,|s|)$​和$pos(|s|-k,|s|,0,|s|-1)$​（防止$x=|s|$​​）

（需要将第一个集合中的元素用$|s|$减去、第二个集合中的元素加上$k$，得到的才是真正的$x$）

显然$2L_{1}\ge L_{2}$​​​​​​​​​​​​，因此根据结论2，其中的元素构成一个等差数列，而一个等差数列只需要求出其中的最小值、次小值和最大值即可确定（公差为次小值-最小值）

进一步的，考虑基本字典子串，即有$pos(l_{1},r_{1},l_{2},r_{2})=S_{m}(rk_{m}(l_{1}))\cap [l_{2},r_{2}-k]$​​，不难二分（初始对其排序）求出最小值、次小值和最大值，时间复杂度为$o(\log n)$​​

将$pos(l_{1},r_{1},l_{2},r_{2})$​对应的等差数列做转换，得到$x$​对应的等差数列，然后将两个等差数列求交，不难发现即是一个扩展欧几里得，时间复杂度也为$o(\log n)$​

综上，得到了一个时空复杂度分别为$o(n\log^{2}n)$​​和$o(n\log n)$​​​​​的​做法

优化

考虑将时间复杂度优化至$o(n\log n)$​​​​​​​​，显然瓶颈有两个：1.等差数列求交；2.求$pos(l_{1},r_{1},l_{2},r_{2})$

关于前者，对两个等差数列长度分类讨论：

1.存在一个等差数列长度小于3，暴力枚举该等差数列元素并检验即可

2.两个等差数列长度都不小于3，则有以下结论——

结论3：若$|s_{1}|=|t_{1}|\ge |s_{2}|=|t_{2}|$且$s_{1}$在$t_{2}t_{1}$、$t_{1}$在$s_{1}s_{2}$中都出现至少3次，则$\min per(s_{1})=\min per(t_{1})$

记$x=\min per(s_{1}),y=\min per(t_{1})$​，若$x\ne y$​，此时不妨假设$x>y$​​（反之同理）

令$z$​​​​​为$s_{1}$​​​​​在$t_{2}t_{1}$​​​​​中最后一次出现的位置（即$z=\max_{0\le x\le |t_{2}|,s_{1}=(t_{2}t_{1})(x,x+|s_{1}|]}x$​​​​​），考虑取出其中$s_{1}$​和$t_{1}$​的交，即$s=s_{1}(|t_{2}|-x,|s_{1}|]=t_{1}[1]$

注意到$s_{1}$​​在$t_{2}s$​​中已经出现了至少三次，且之前每一次匹配都需要额外$x$​​的长度（推论2），因此在长度上不难得到$|t_{2}s|\ge |s_{1}|+2x\ge |t_{2}|+x+y$​，也即$|s|\ge x+y$​

同时，由于$s$是$s_{1}$和$t_{1}$的子串，根据性质1有$x,y \in per(z)$，再根据结论1即有$\gcd(x,y)\in per(z)$

进一步的，根据性质4不难得到$\gcd(x,y)\in per(s_{1})$​，而显然$x>y\ge \gcd(x,y)$​，与$x$最小矛盾

此时代入结论3，令$s_{1}=s(0,k],t_{1}=s(|s|-k,|s|],s_{2}=(k,2k]$和$t_{2}=s(|s|-2k+1,|s|-k]$，即可以得到$\min per(s_{1})=\min per(t_{1})$，再根据推论2两者为公差，也即公差相同，显然可以$o(1)$​求交

关于后者，考虑将$S_{m}(i)$​分为若干段，即$[0,k),[k,2k),[2k,3k),...,[\lfloor\frac{|s|-1}{k}\rfloor k,|s|)$​，根据结论2其中每一段都构成一个等差数列，每一次查询最多有两段有交，显然容易处理

但实现上，如果暴力存储，即将原来的一个vector拆成了$o(n)$个vector，那么总共即有$o(n^{2}\log n)$个vector（其中会有大量的空vector），无法通过

关于这个问题，可以使用哈希，即构造函数$f(m,i,j)$（$(m,i,j)$即为vector的下标），值域为$o(n\log n)$，那么期望单次复杂度即为$o(1)$，空间复杂度降为$o(n\log n)$​

综上，得到了一个时空复杂度均为$o(n\log n)$​​的做法

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 #define N 200009
  4 #define L 20
  5 #define mod 3000017
  6 #define fi first
  7 #define se second
  8 struct Edge{
  9     int nex,id;
 10     pair<int,int>to;
 11 }edge[L*N];
 12 struct Seq{
 13     int a,k,d;
 14     int st(){
 15         return a;
 16     }
 17     int ed(){
 18         return a+(k-1)*d;
 19     }
 20     int check(int x){
 21         if (!k)return 0;
 22         if (k==1)return a==x;
 23         return (st()<=x)&&(x<=ed())&&((x-a)%d==0);
 24     }
 25 }o,f[N*L];
 26 vector<int>v[L*N];
 27 int V,E,n,m,q,x,y,ans_min,ans_max,ans_sum,head[L][mod],Tot[L][mod],a[N],b[N],tot[N],rk[L][N<<1];
 28 char s[N];
 29 int Hash(int m,int x,int y){
 30     int p=((long long)x*N+y)%mod;
 31     for(int i=head[m][p];i!=-1;i=edge[i].nex)
 32         if (edge[i].to==make_pair(x,y))return edge[i].id;
 33     edge[E].nex=head[m][p];
 34     edge[E].id=++V;
 35     edge[E].to=make_pair(x,y);
 36     head[m][p]=E++;
 37     return V;
 38 }
 39 int get_Hash(int m,int x,int y){
 40     int p=((long long)x*N+y)%mod;
 41     for(int i=head[m][p];i!=-1;i=edge[i].nex)
 42         if (edge[i].to==make_pair(x,y))return edge[i].id;
 43     return 0;
 44 }
 45 Seq add(Seq a,int x){
 46     if (!a.k)return Seq{0,0,0};
 47     a.a+=x;
 48     return a;
 49 }
 50 Seq inv(Seq a){
 51     if (!a.k)return Seq{0,0,0};
 52     a.a=-a.ed();
 53     return a;
 54 }
 55 Seq Cap(Seq a,int l,int r){
 56     if ((!a.k)||(a.st()>r))return Seq{0,0,0};
 57     if (a.k==1){
 58         if ((l<=a.a)&&(a.a<=r))return a;
 59         return Seq{0,0,0};
 60     }
 61     int s=(l-a.st()+a.d-1)/a.d,t=(r-a.st())/a.d;
 62     s=max(s,0),t=min(t,a.k-1);
 63     if (s>t)return Seq{0,0,0};
 64     return Seq{a.st()+s*a.d,t-s+1,a.d};
 65 }
 66 Seq merge(Seq a,Seq b){
 67     if (!a.k)return b;
 68     if (!b.k)return a;
 69     return Seq{a.st(),a.k+b.k,b.st()-a.ed()};
 70 }
 71 Seq get_same(Seq a,Seq b){
 72     if (a.k>b.k)swap(a,b);
 73     if (a.k<3){
 74         vector<int>v;
 75         v.clear();
 76         for(int i=0;i<a.k;i++)
 77             if (b.check(a.a+i*a.d))v.push_back(a.a+i*a.d);
 78         if (!v.size())return Seq{0,0,0};
 79         if (v.size()==1)return Seq{v[0],1,0};
 80         int d=v[1]-v[0];
 81         return Seq{v[0],(v.back()-v[0])/d+1,d};
 82     }
 83     int s=max(a.st(),b.st()),t=min(a.ed(),b.ed());
 84     if (s>t)return Seq{0,0,0};
 85     return Seq{s,(t-s)/a.d+1,a.d};
 86 }
 87 Seq get_pos(int l1,int r1,int l2,int r2){
 88     l1+=x,r1+=x,l2+=x,r2+=x;
 89     Seq o1=Cap(f[get_Hash(m,rk[m][l1],l2/(1<<m))],l2,r2-(1<<m));
 90     Seq o2=Cap(f[get_Hash(m,rk[m][l1],l2/(1<<m)+1)],l2,r2-(1<<m));
 91     return add(merge(o1,o2),-x);
 92 }
 93 int main(){
 94     scanf("%s%d",s+1,&q);
 95     n=strlen(s+1);
 96     memset(head,-1,sizeof(head));
 97     for(int i=0;i<n;i++){
 98         int p=s[i+1]-'a'+1;
 99         rk[0][i]=p,v[Hash(0,p,i)].push_back(i);
100     }
101     int t=26;
102     for(m=0;(1<<m)<n;m++){
103         int k=(1<<m);
104         memset(tot,0,sizeof(tot));
105         for(int j=0;j<n;j++)tot[rk[m][j+k]]++;
106         for(int j=1;j<=t;j++)tot[j]+=tot[j-1];
107         for(int j=n-1;j>=0;j--)a[tot[rk[m][j+k]]--]=j;
108         memset(tot,0,sizeof(tot));
109         for(int j=0;j<n;j++)tot[rk[m][j]]++;
110         for(int j=1;j<=t;j++)tot[j]+=tot[j-1];
111         for(int j=n;j;j--)b[tot[rk[m][a[j]]]--]=a[j];
112         t=0;
113         for(int j=1;j<=n;j++){
114             if ((j==1)||(rk[m][b[j]]!=rk[m][b[j-1]])||(rk[m][b[j]+k]!=rk[m][b[j-1]+k]))t++;
115             rk[m+1][b[j]]=t,v[Hash(m+1,t,b[j]/(k<<1))].push_back(b[j]);
116         }
117     }
118     for(int i=1;i<=V;i++){
119         if (!v[i].size())f[i]=Seq{0,0,0};
120         if (v[i].size()==1)f[i]=Seq{v[i][0],1,0};
121         if (v[i].size()>1){
122             int d=v[i][1]-v[i][0];
123             f[i]=Seq{v[i][0],(v[i].back()-v[i][0])/d+1,d};
124         }
125     }
126     for(int i=1;i<=q;i++){
127         scanf("%d%d",&x,&y);
128         int l=y-x+1;
129         ans_min=n,ans_max=0,ans_sum=0;
130         for(m=0;(1<<m)<l;m++){
131             int k=(1<<m);
132             Seq o1=add(inv(get_pos(0,k,max(l-(k<<1),0)+1,l)),l);
133             Seq o2=add(get_pos(l-k,l,0,min((k<<1),l)-1),k);
134             o=get_same(o1,o2);
135             if (o.k){
136                 ans_min=min(ans_min,o.st());
137                 ans_max=max(ans_max,o.ed());
138                 ans_sum+=o.k;
139             }
140         }
141         if (!ans_sum)printf("-1\n");
142         else printf("%d %d %d\n",ans_min,ans_max,ans_sum);
143     }
144     return 0;
145 }

3.拓展

幂和幂串

幂：定义$s$​的$k$​次幂为$s^{k}=ss...s$​（共$k$​个$s$​）​​​

$k$​​​​​​次幂串：$s$​​​​​​为$k$​​​​​​次幂串当且仅当$k\mid |s|$​​​​​且$s=s[1,\frac{|s|}{k}]^{k}$​​（其中$k\ge 2$​）​​

本原$k$​​​次幂串：记$x=\min per(s)$​​​，若$x<|s|$​​​且$x\mid |s|$​​​，则称$s$​​​为本原$\frac{|s|}{x}$​​​​次幂串

本原串：若$\forall x\in per(s)$，有$x=|s|$或$x\not\mid |s|$，则称$s$为本原串

关于幂和幂串，显然有以下性质——

性质5：$\forall k\ge 1,|s|\in per(s^{k})$​

性质6：若$k\mid |s|$​​，$s$​为$k$​次幂串当且仅当$\frac{|s|}{k}\in per(s)$​

性质7：若$s$​​是$k_{1}$​​次幂串和$k_{2}$​​次幂串，则$s$​​是${\rm lcm}(k_{1},k_{2})$​​次幂串

根据性质5，有$\frac{|s|}{k_{1}}\in per(s[1,\frac{|s|}{k_{1}}]^{k_{1}})=per(s)$​，同理有$\frac{|s|}{k_{2}}\in per(s)$​​​​​​​

由于$k\ge 2$​​​，显然$\frac{|s|}{k_{1}}+\frac{|s|}{k_{2}}\le |s|$​​，根据结论1即有$\gcd(\frac{|s|}{k_{1}},\frac{|s|}{k_{2}})=\frac{|s|}{{\rm lcm}(k_{1},k_{2})}\in per(s)$​​

同时${\rm lcm}(k_{1},k_{2})\mid |s|$​，根据性质6即有$s$​为${\rm lcm}(k_{1},k_{2})$次幂串​

性质8：$\forall k\ge 2$​​，$s$​​为本原串当且仅当$s^{k}$​​为本原$k$​​​次幂串

根据性质5，即$|s|\in per(s^{k})$​

令$x=\min per(s^{k})$​，显然$|s^{k}|=k|s|\ge |s|+x$​，根据结论1即$x=\gcd(x,|s|)\mid |s|$​​，再根据性质2即有$x\in per(s)$​

若$s$为本原串，显然$x=|s|$，那么$s^{k}$为本原$\frac{|s^{k}|}{x}=k$次幂串

若$s^{k}$​​​为本原$k$​​​次幂串，显然$x=|s|$​​​，任取$y\in per(s)\mid |s|$​​，根据$|s|\in per(s^{k})$​​和性质4不难得到$y\in per(s^{k})$​​，进而即有$y=|s|$​​（$y\ge x=|s|$​）​​

换言之，若$y\mid |s|$​，必然有$y=|s|$​，也即$s$为本原串

综上，即得证

问题

给定字符串$s$​​和$k$​​，快速找到$s$​​的所有本原$k$​​​次幂子串

$1\le |s|\le 2\times 10^{5}$​​，$2\le k\le |s|$​

关于这个问题，考虑下面这个做法：枚举$0\le m\le \lfloor\log_{2}|s|\rfloor$​，排名$i$​和$S_{m}(i)$​中相邻的两个元素$(x,y)$​，并判定$s(x,x+k(y-x)]$​​是否为$k$​次幂子串（若是则加入答案）

（关于判定$s(i,i+kl]$​是否为$k$​次幂串，比较$s(i,i+(k-1)l]$​和$s(i+l,i+kl]$​即可）

显然总复杂度为$o(n\log n)$​​​​，下面考虑正确性——

结论4：该做法恰可以找到所有本原$k$​​​次幂子串

若$s(i,i+kl]$​​​为本原$k$​​​次幂子串，取$m$​​​满足$2^{m-1}<l\le 2^{m}$​​​​，问题即要证明不存在$i<x<i+l$​​使得其满足$s(i,i+l]=s(x,x+l]$​​（那么显然$i$​​和$i+l$​​在$S_{m}(rk_{m}(i))$​​​中相邻，会被枚举到）

若存在$x$​​​​，显然$l,x-i\in per(s(i,x+l])$​​​​​，根据结论1即$d=\gcd(l,x-i)\in per(s(i,x+l])$​​

同时，有$l\in per(s(i,i+kl])$​​，根据性质4即$d\in per(s(i,i+kl])$​​，显然$\min per(s(i,i+kl])<l$​​，与其为本原$k$​​​​次幂串矛盾

另一方面，若找到$s(i,i+kl]$为$k$次幂子串但不为本原$k$次幂子串，令$d=\min per(s(i,i+l])$，显然有此时有${\rm lcp}(s(i,|s|],s(i+d,|s|])>{\rm lcp}(s(i,|s|],s(i+l,|s|])$​

换言之，对于任意$m$若$s(i,i+2^{m}]=s(i+l,i+l+2^{m}]$，则$s(i,i+2^{m}]=s(i+d,i+d+2^{m}]$​​，因此​不会枚举到$i$和$i+l$相邻，即枚举到的一定是本原$k$次幂子串