【LeetCode】413. Arithmetic Slices 等差数列划分

作者： 负雪明烛
id： fuxuemingzhu
个人博客： http://fuxuemingzhu.cn/

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目录

• • 题目描述
  • 题目大意
  • 解题方法
  • • 暴力
    • 双指针
    • 递归
    • 动态规划
  • 日期

题目地址：https://leetcode.com/problems/arithmetic-slices/description/

题目描述

A sequence of number is called arithmetic if it consists of at least three elements and if the difference between any two consecutive elements is the same.

For example, these are arithmetic sequence:

1, 3, 5, 7, 9
7, 7, 7, 7
3, -1, -5, -9
The following sequence is not arithmetic.

1, 1, 2, 5, 7

A zero-indexed array A consisting of N numbers is given. A slice of that array is any pair of integers (P, Q) such that 0 <= P < Q < N.

A slice (P, Q) of array A is called arithmetic if the sequence:
A[P], A[p + 1], …, A[Q - 1], A[Q] is arithmetic. In particular, this means that P + 1 < Q.

The function should return the number of arithmetic slices in the array A.

Example:

A = [1, 2, 3, 4]

return: 3, for 3 arithmetic slices in A: [1, 2, 3], [2, 3, 4] and [1, 2, 3, 4] itself.

题目大意

这道题的题目不是一般的长，其实就是一个意思：给你一串数字，返回这串数字中能够构成等差数列的子串的数目。

解题方法

本题要我们求数组中有多少个等差数列。

本题解分成了 4 个部分：暴力 => 双指针 => 递归 => 动态规划。
​

暴力

最容易想到的就是暴力解法：判断所有的子数组是不是等差数列，如果是的话就累加次数。

C++ 代码如下：

class Solution {
public:
    int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& A) {
        const int N = A.size();
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < N - 2; i++) {
            for (int j = i + 1; j < N; j++) {
                if (isArithmetic(A, i, j))
                    res ++;
            }
        }
        return res;
    }
private:
    bool isArithmetic(vector<int>& A, int start, int end) {
        if (end - start < 2) return false;
        for (int i = start; i < end - 1; i++) {
            if (A[i + 1] * 2 != A[i] + A[i + 2])
                return false;
        }
        return true;
    }
};

• 时间复杂度：

  O

  (

  N

  3

  )

  O(N ^ 3)

  O(N3)，遍历所有的子数组，需要有两重循环，时间复杂度是

  O

  (

  N

  2

  )

  O(N^2)

  O(N2)；判断每个子数组是不是等差数列，时间复杂度是

  O

  (

  N

  )

  O(N)

  O(N)；所以总的时间复杂度是

  O

  (

  N

  3

  )

  O(N ^ 3)

  O(N3) 。

• 空间复杂度：

  O

  (

  1

  )

  O(1)

  O(1)。

双指针

在上面的暴力解法中，我们对每个子数组都进行了是否为等差数列的判断。
​

• 其实，如果我们已经知道一个子数组的前面部分不是等差数列以后，那么后面部分就不用判断了。
• 同时，我们知道等差数列的所有的相邻数字的差是固定的。

​

因此，对于每个起始位置，我们只需要向后进行一遍扫描，直到不再构成等差数列为止，此时已经没有必要再向后扫描。

这个思路其实就是双指针（滑动窗口） 的解法。

C++ 代码如下，

class Solution {
public:
    int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& A) {
        const int N = A.size();
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < N - 2; i++) {
            int d = A[i + 1] - A[i];
            for (int j = i + 1; j < N - 1; j++) {
                if (A[j + 1] - A[j] == d)
                    res ++;
                else
                    break;
            }
        }
        return res;
    }
};

• 时间复杂度：

  O

  (

  N

  2

  )

  O(N^2)

  O(N2)；

• 空间复杂度：

  O

  (

  1

  )

  O(1)

  O(1)。

递归

从上面的思路中，我们已经逐渐的抽象出一个思路了：固定起点，判断后面的等差数列有多少个。
​

类似的思路，我们可以构造出「自顶向下」的递归解法：定义递归函数 slices(A, end)的含义是区间 A[0, end] 中，以 end 作为终点的，等差数列的个数。
​

A[0, end]内的以 end作为终点的等差数列的个数，相当于在 A[0, end - 1]的基础上，增加了 A[end] 。
​

有两种情况：
​

1. A[end] - A[end - 1] == A[end - 1] - A[end - 2]时，说明增加的A[end]能和前面构成等差数列，那么 slices(A, end) = slices(A, end - 1) + 1；
2. A[end] - A[end - 1] != A[end - 1] - A[end - 2]时， 说明增加的 A[end]不能和前面构成等差数列，所以slices(A, end) = 0；

最后，我们要求的是整个数组中的等差数列的数目，所以需要把

0

<

=

e

n

d

<

=

l

e

n

(

A

−

1

)

0 <= end <= len(A - 1)

0<=end<=len(A−1) 的所有递归函数的结果累加起来。
​

class Solution(object):
    def numberOfArithmeticSlices(self, A):
        N = len(A)
        self.res = 0
        self.slices(A, N - 1)
        return self.res

    def slices(self, A, end):
        if end < 2: return 0
        op = 0
        if A[end] - A[end - 1] == A[end - 1] - A[end - 2]:
            op = 1 + self.slices(A, end - 1)
            self.res += op
        else:
            self.slices(A, end - 1)
        return op

• 时间复杂度：

  O

  (

  N

  2

  )

  O(N^2)

  O(N2)。因为递归函数最多被调用 N 次，每次调用的时候都需要向前遍历一次。

• 空间复杂度：

  O

  (

  N

  )

  O(N)

  O(N)，递归栈的最大深度是 N。

动态规划

上面的递归的解法，是「自顶向下」的思路。如果转成「自底向上」的思路，就变成了动态规划。

类似于递归解法，我们定义

d

p

[

i

]

dp[i]

dp[i] 是以

A

[

i

]

A[i]

A[i] 为终点的等差数列的个数。
​

类似于上面的递归思路，有两种情况：
​

1. A[i] - A[i - 1] == A[i - 1] - A[i - 2]时，说明增加的A[i]能和前面构成等差数列，那么 dp[i] = dp[i - 1] + 1；
2. A[i] - A[i - 1] != A[i - 1] - A[i - 2]时， 说明增加的 A[i]不能和前面构成等差数列，所以dp[i] = 0；

动态规划的初始状态：

d

p

[

0

]

=

0

,

d

p

[

1

]

=

0

dp[0] = 0, dp[1] = 0

dp[0]=0,dp[1]=0。
​

最后，我们要求的是整个数组中的等差数列的数目，所以需要把

0

<

=

i

<

=

l

e

n

(

A

−

1

)

0 <= i <= len(A - 1)

0<=i<=len(A−1) 的所有

d

p

[

i

]

dp[i]

dp[i] 的结果累加起来。

class Solution(object):
    def numberOfArithmeticSlices(self, A):
        N = len(A)
        dp = [0] * N
        for i in range(1, N - 1):
            if A[i - 1] + A[i + 1] == A[i] * 2:
                dp[i] = dp[i - 1] + 1
        return sum(dp)

• 时间复杂度：

  O

  (

  N

  )

  O(N)

  O(N)；

• 空间复杂度：

  O

  (

  N

  )

  O(N)

  O(N)；

​

由于 dp[i] 只和 dp[i - 1] 有关，所以可以进行状态压缩，只用一个变量 k 来表示以

A

[

i

]

A[i]

A[i] 为终点的等差数列的个数。
​

计算的方式仍然不变。

class Solution(object):
    def numberOfArithmeticSlices(self, A):
        count = 0
        k = 0
        for i in xrange(len(A) - 2):
            if A[i + 1] - A[i] == A[i + 2] - A[i + 1]:
                k += 1
                count += k
            else:
                k = 0
        return count

• 时间复杂度：

  O

  (

  N

  )

  O(N)

  O(N)；

• 空间复杂度：

  O

  (

  1

  )

  O(1)

  O(1)；

日期

2018 年 2 月 28 日
2018 年 12 月 10 日 —— 又是周一！
2021 年 8 月 10 日 —— 昨天开车去了雁栖湖