题解 [HNOI/AHOI2018]毒瘤

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题目大意

给出一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，问有多少个点集满足点集中任意两点均不存在边相连。

\(n\le 10^5,m-n\le 10\)，答案对 \(998244353\) 取模。

思路

妙啊！！！

首先我们从树的形态开始考虑，你发现答案其实就是独立集的个数，具体来说我们可以设 \(f_{u,0/1}\) 表示 \(u\) 点选或不选的方案数，可以得到：

\[f_{u,0}=\prod_{v\in son_u} (f_{v,0}+f_{v,1})
\]

\[f_{u,1}=\prod_{v\in son_u} f_{v,0}
\]

然后我们考虑有返祖边的情况，你发现这个边数特别少，于是我们考虑枚举每一条边的情况，你发现只有 \(3\) 种，即 \((0,0),(0,1),(1,0)\)，但是实际上可以压缩到 \(2\) 种情况，即考虑一个点是 \(0\) 还是 \(1\)。于是我们可以枚举一下情况，然后时间复杂度就是 \(\Theta(2^{11} n)\)。就可以获得 \(75\) 的好成绩了。为了方便，我们之后称需要枚举情况的点为“不定点”。

然后你发现实际上每次 dp，我们重复计算的东西实际上很多，但是我们经过思考发现其实每次只会改变“不定点”的虚树上的点。于是，我们只需要考虑虚树上儿子对父亲产生的贡献即可。

然后我们发现实际上虚树上的儿子对父亲实际上可以表示为 \(k_{v,0/1,0}f_{v,0}+k_{v,0/1,1}f_{v,1}\)，于是我们可以预处理出 \(k_{v,0/1,0/1}\) 这个系数，至于不在虚树上的儿子产生的贡献可以预处理出来。这个式子里面的常数是实际上就是不会改变的点对“不定点”产生的贡献造成的。

然后你就发现这个东西其实跟动态 dp 的思想是差不对的，所以这道题实际上也可以用动态 dp 搞过去。

时间复杂度 \(\Theta(n+s2^s)\)，其中 \(s=m-n+1\)。

\(\texttt{Code}\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define mod 998244353
#define MAXN 100005

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> void read (T &x,Args& ... args){read (x),read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}

int n,m;
int mul (int a,int b){return 1ll * a * b % mod;}
int dec (int a,int b){return a >= b ? a - b : a + mod - b;}
int add (int a,int b){return a + b >= mod ? a + b - mod : a + b;}

struct Coe{
	int a,b;
	Coe operator * (const int &p)const{return Coe {mul (a,p),mul (b,p)};}
	Coe operator + (const Coe &p)const{return Coe {add (a,p.a),add (b,p.b)};}
}k[MAXN][2];

struct node{
	int v;
	Coe x,y;
};

vector <int> G[MAXN];
vector <node> E[MAXN];

void Add_Edge (int u,int v){
	G[u].push_back (v),
	G[v].push_back (u);
}
void Add_Edge1 (int u,int v,Coe w1,Coe w2){
	E[u].push_back (node {v,w1,w2});
}

int ind,cnt,eu[MAXN],ev[MAXN],siz[MAXN],dfn[MAXN],mark[MAXN];

void dfs (int u,int fa){
	dfn[u] = ++ ind;
	for (Int v : G[u]){
		if (!dfn[v]) dfs (v,u),siz[u] += siz[v];
		else if (v != fa){
			mark[u] = 1;
			if (dfn[u] < dfn[v]) eu[++ cnt] = u,ev[cnt] = v;
		}
	}
	mark[u] |= siz[u] >= 2,siz[u] = siz[u] || mark[u];
}

int f[MAXN][2],p[MAXN][2],sur[MAXN][2],vis[MAXN];

int dfs1 (int u){
	p[u][0] = p[u][1] = vis[u] = 1;int pos = 0;
	for (Int v : G[u]){
		if (vis[v]) continue;
		int w = dfs1 (v);
		if (!w){
			p[u][1] = mul (p[u][1],p[v][0]);
			p[u][0] = mul (p[u][0],add (p[v][0],p[v][1]));
		}
		else if (mark[u]) Add_Edge1 (u,w,k[v][0] + k[v][1],k[v][0]);
		else k[u][0] = k[v][0] + k[v][1],k[u][1] = k[v][0],pos = w;
	}
	if (mark[u]) k[u][0] = Coe {1,0},k[u][1] = Coe {0,1},pos = u;
	else k[u][0] = k[u][0] * p[u][0],k[u][1] = k[u][1] * p[u][1];
	return pos;
}

void dfs2 (int u){
	f[u][0] = sur[u][1] ? 0 : p[u][0],f[u][1] = sur[u][0] ? 0 : p[u][1];
	for (node to : E[u]){
		dfs2 (to.v);int v = to.v,p = f[v][0],q = f[v][1];
		f[u][0] = mul (f[u][0],add (mul (to.x.a,p),mul (to.x.b,q)));
		f[u][1] = mul (f[u][1],add (mul (to.y.a,p),mul (to.y.b,q)));
	}
}

signed main(){
	read (n,m);
	for (Int i = 1,u,v;i <= m;++ i) read (u,v),Add_Edge (u,v);
	dfs (1,0),mark[1] = 1,dfs1 (1);int up = 1 << cnt,ans = 0;
	for (Int S = 0;S < up;++ S){
		for (Int i = 1;i <= cnt;++ i)
			if (S >> i - 1 & 1) sur[eu[i]][1] = sur[ev[i]][0] = 1;
			else sur[eu[i]][0] = 1;
		dfs2 (1),ans = add (ans,add (f[1][0],f[1][1]));
		for (Int i = 1;i <= cnt;++ i)
			if (S >> i - 1 & 1) sur[eu[i]][1] = sur[ev[i]][0] = 0;
			else sur[eu[i]][0] = 0;
	}
	write (ans),putchar ('\n');
	return 0;
}