[cf1379F]Chess Strikes Back

考虑将$(2i-1,2j-1)$和$(2i,2j)$缩为一个点，记作$(i,j)$

对于每一个点，只能选$(2i-1,2j-1)$或$(2i,2j)$（显然不能都选），而这样恰好为$nm$个，因此必须要至少选择一个

对于每一个点，障碍的状态分为以下几类：

1.无障碍，这类点暂时不考虑

2.都有障碍，若存在此类点必然不合法

3.有一个障碍，分两类讨论：

(1)$(2i-1,2j-1)$上有障碍，即这个点只能选$(2i,2j)$，考虑$(i+1,j)$和$(i,j+1)$，也只能选这个点，因此即对于其右下角的点，都要选$(2i,2j)$；

(2)$(2i,2j)$上有障碍，类似的，对于其左上角的点，都要选$(2i-1,2j-1)$

矛盾在于存在一个点$(i_{1},j_{1})$在$(2i_{1}-1,2j_{1}-1)$上有障碍，$(i_{2},j_{2})$在$(2i_{2},2j_{2})$上有障碍，且满足$i_{1}\le i_{2}$、$j_{1}\le j_{2}$，那么对于$([i_{1},i_{2}],[j_{1},j_{2}])$这个矩形就无解了

（其实第2类也可以看作此类情况，即$i_{1}=i_{2}$且$j_{1}=j_{2}$）

通过set，可以求出对于所有$i$，在$(2i-1,2j-1)$上有障碍的最小的$j$和在$(2i,2j)$上有障碍的最大的$j$

对于插入可以很好的支持，即判断新来的点是否会产生即可（通过线段树维护第一个前缀最小值以及第二个后缀最大值），那么删除通过线段树分治即可

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 200005
 4 #define L (k<<1)
 5 #define R (L+1)
 6 #define mid (l+r>>1)
 7 #define pii pair<int,int>
 8 #define mp make_pair
 9 #define fi first
10 #define se second
11 map<int,int>mat[N<<1];
12 map<int,int>::iterator it;
13 multiset<int>s1[N],s2[N];
14 vector<pii>v[N<<2];
15 pii f[N<<2];
16 int n,m,q,x,y,ans[N];
17 void add(int k,int l,int r,int x,int y,pii z){
18     if ((l>y)||(x>r))return;
19     if ((x<=l)&&(r<=y)){
20         v[k].push_back(z);
21         return;
22     }
23     add(L,l,mid,x,y,z);
24     add(R,mid+1,r,x,y,z);
25 }
26 pii merge(pii x,pii y){
27     return mp(min(x.fi,y.fi),max(x.se,y.se));
28 }
29 pii get(int k){
30     int x=m+1,y=0;
31     if (s1[k].size())x=(*s1[k].begin());
32     if (s2[k].size())y=(*--s2[k].end());
33     return mp(x,y);
34 }
35 void update(int k,int l,int r,int x){
36     if (l==r){
37         f[k]=get(x);
38         return;
39     }
40     if (x<=mid)update(L,l,mid,x);
41     else update(R,mid+1,r,x);
42     f[k]=merge(f[L],f[R]);
43 }
44 pii query(int k,int l,int r,int x,int y){
45     if ((l>y)||(x>r))return mp(m+1,0);
46     if ((x<=l)&&(r<=y))return f[k];
47     return merge(query(L,l,mid,x,y),query(R,mid+1,r,x,y));
48 }
49 void dfs(int k,int l,int r){
50     if (!ans[0])return;
51     for(int i=0;i<v[k].size();i++){
52         x=v[k][i].fi,y=v[k][i].se;
53         if (y&1){
54             s1[(x+1)/2].insert((y+1)/2);
55             if (query(1,1,n,(x+1)/2,n).se>=(*s1[(x+1)/2].begin()))ans[0]=0;
56         }
57         else{
58             s2[x/2].insert(y/2);
59             if (query(1,1,n,1,x/2).fi<=(*--s2[x/2].end()))ans[0]=0;
60         }
61         update(1,1,n,(x+1)/2);
62     }
63     if (l==r)ans[l]=ans[0];
64     else{
65         dfs(L,l,mid);
66         dfs(R,mid+1,r);
67     }
68     for(int i=0;i<v[k].size();i++){
69         x=v[k][i].fi,y=v[k][i].se;
70         if (y&1)s1[(x+1)/2].erase(s1[(x+1)/2].find((y+1)/2));
71         else s2[x/2].erase(s2[x/2].find(y/2));
72         update(1,1,n,(x+1)/2);
73     }
74     ans[0]=1;
75 }
76 int main(){
77     scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
78     for(int i=1;i<=q;i++){
79         scanf("%d%d",&x,&y);
80         if (!mat[x][y])mat[x][y]=i;
81         else{
82             add(1,1,q,mat[x][y],i-1,mp(x,y));
83             mat[x][y]=0;
84         }
85     }
86     for(int i=1;i<=2*n;i++)
87         for(it=mat[i].begin();it!=mat[i].end();it++)
88             if ((*it).se)add(1,1,q,(*it).se,q,mp(i,(*it).fi));
89     for(int i=1;i<=n;i++)update(1,1,n,i);
90     ans[0]=1;
91     dfs(1,1,q);
92     for(int i=1;i<=q;i++)
93         if (ans[i])printf("YES\n");
94         else printf("NO\n");
95 }