[cf1270I]Xor on Figures

考虑一个构造：令初始$2^{k}\times 2^{k}$的矩阵为$A$（下标从0开始），再构造一个矩阵$T$，满足仅有$T_{x_{i},y_{i}}=1$（其余位置都为0），定义矩阵卷积$\otimes$即
$$
(A\otimes B)_{x,y}=\bigoplus_{x_{1}+x_{2}\equiv x(mod\ 2^{k}),y_{1}+y_{2}\equiv y(mod\ 2^{k})}A_{x_{1},y_{1}}B_{x_{2},y_{2}}
$$
（不难证明这个卷积运算有交换律和结合律）

令$F$为答案矩阵，即$F_{x,y}$为在$(x,y)$上所选择的$p$（多次选择异或起来即可），根据定义有$F\otimes T=A$

考虑$\otimes$运算的单位矩阵$e$，即满足对于任意矩阵$A$，$A\otimes e=A$，不难发现$e_{x,y}=[x=0][y=0]$即满足此条件，以下即以此为单位矩阵

通过单位矩阵，我们就可以对矩阵$T$求逆了，若其求逆结果为$T^{-1}$（即满足$T\otimes T^{-1}=e$的矩阵因此），将上式两边同乘$T^{-1}$即有$F=A\otimes T^{-1}$

考虑如何求出$T^{-1}$，似乎并不太好求，那么再考虑一个问题，即$T^{2}$（即$T\otimes T$）是一个怎样的矩阵：

根据定义中的式子，注意到当交换$x_{1}$和$x_{2}$、$y_{1}$和$y_{2}$后，两者所贡献的位置以及权值相同，而$\oplus$具有自反性，因此即最终结果为0

但特别的，当$x_{1}=x_{2}$且$y_{1}=y_{2}$，显然是不能交换的，即
$$
(T^{2})_{x,y}=\bigoplus_{2x'\equiv x(mod\ 2^{k}),2y'\equiv y(mod\ 2^{k})}T_{x',y'}^{2}=\bigoplus_{2x'\equiv x(mod\ 2^{k}),2y'\equiv y(mod\ 2^{k})}T_{x',y'}
$$
（最后一步由于$T$中任意元素都为0或1，因此$T_{x',y'}^{2}=T_{x',y'}$）

上面这个式子通俗的来说，也就是将$T$中的每一个在$(x,y)$的1都移动到$(2x\ mod\ 2^{k},2y\ mod\ 2^{k})$，当一个位置有两个1可以相互抵消

当然我们也可以先不抵消，重复上述过程，则有
$$
(T^{2^{k}})_{x,y}=\bigoplus_{2^{k}x'\equiv x(mod\ 2^{k}),2^{k}y'\equiv y(mod\ 2^{k})}T_{x',y'}=[x=0][y=0]\bigoplus_{x,y}T_{x,y}=[x=0][y=0][t\ mod\ 2]
$$
（显然$T$中1的个数恰好为$t$）

根据$t$是奇数，即$T^{2^{k}}=e$，那么$T\otimes T^{2^{k}-1}=e$，即$T^{-1}=T^{2^{k}-1}$

关于如何计算$A\otimes T^{2^{k}-1}$，如果暴力计算两个矩阵复杂度是$o(2^{4k})$，即使用快速幂优化$T^{2^{k}-1}$的计算，复杂度也是$o(k2^{4k})$，无法通过

但是，注意到$\forall 0\le i\le k,T^{2^{i}}$至多只有$t$个1（即使移动到的位置都不重合，没有抵消）

根据$2^{k}-1=\sum_{i=0}^{k-1}2^{i}$，再根据结合律所求即$A\otimes T^{1}\otimes T^{2}\otimes...\otimes T^{2^{k-1}}$，按照运算顺序从左到右依次乘，每一次复杂度为$o(t2^{2k})$，总复杂度即$o(tk2^{2k})$

（每一个$T^{2^{i}}$怎么求前面应该也已经说明了）

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 2005
 4 int n,m,ans,x[N],y[N];
 5 long long a[N][N],b[N][N];
 6 void mul(){
 7     memset(b,0,sizeof(b));
 8     for(int i=0;i<(1<<n);i++)
 9         for(int j=0;j<(1<<n);j++)
10             for(int k=1;k<=m;k++)b[(x[k]+i)%(1<<n)][(y[k]+j)%(1<<n)]^=a[i][j];
11     memcpy(a,b,sizeof(a));
12 }
13 int main(){
14     scanf("%d",&n);
15     for(int i=0;i<(1<<n);i++)
16         for(int j=0;j<(1<<n);j++)scanf("%lld",&a[i][j]);
17     scanf("%d",&m);
18     for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
19     for(int i=0;i<n;i++){
20         mul();
21         for(int j=1;j<=m;j++){
22             x[j]=2*x[j]%(1<<n);
23             y[j]=2*y[j]%(1<<n);
24         }
25     }
26     for(int i=0;i<(1<<n);i++)
27         for(int j=0;j<(1<<n);j++)
28             if (a[i][j])ans++;
29     printf("%d",ans);
30 }