hdu 3117 Fibonacci Numbers 矩阵快速幂+公式

斐波那契数列后四位可以用快速幂取模(模10000)算出。前四位要用公式推

HDU 3117 Fibonacci Numbers(矩阵快速幂+公式)

f(n)=(((1+√5)/2)^n+((1-√5)/2)^n)/√5

假设F[n]可以表示成 t * 10^k（t是一个小数），那么对于F[n]取对数log₁₀，答案就为log₁₀ t + K，此时很明显log₁₀ t<1，于是我们去除整数部分，就得到了log₁₀ t

再用pow（10，log₁₀ t)我们就还原回了t。将t×1000就得到了F[n]的前四位。 具体实现的时候Log10 F[n]约等于((1+√5)/2)^n/√5，这里我们把((1-√5)/2)^n这一项忽略了，
因为当N>=40时，这个数已经小的可以忽略。于是log₁₀ F[n]就可以化简成log₁₀ 1/√5 + n*log₁₀ (1+√5)/2

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

const int Mod = 10000;
const int N = 4;
int msize;

struct Mat
{
    int mat[N][N];
};

Mat operator *(Mat a, Mat b)
{
    Mat c;
    memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
    for(int k = 0; k < msize; ++k)
        for(int i = 0; i < msize; ++i)
            if(a.mat[i][k])
                for(int j = 0; j < msize; ++j)
                    if(b.mat[k][j])
                        c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] +a.mat[i][k] * b.mat[k][j])%Mod;
    return c;
}

Mat operator ^(Mat a, int k)
{
    Mat c;
    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
    for(int i = 0; i < msize; ++i)
        c.mat[i][i]=1;
    for(; k; k >>= 1)
    {
        if(k&1) c = c*a;
        a = a*a;
    }
    return c;
}

int a[50];
const double sq5 = sqrt(5.0);

int main()
{
//    freopen("in.txt","r",stdin);
    int n;
    msize = 2;
    Mat A;
    A.mat[0][0] = 1;
    A.mat[0][1] = 1;
    A.mat[1][0] = 1;
    A.mat[1][1] = 0;
    a[0] = 0;
    a[1] = 1;
    for(int i=2;i<40;i++)
        a[i] = a[i-1] + a[i-2];
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        if(n<40) printf("%d\n",a[n]);
        else
        {
            double t = n * log10((1.0 + sq5) / 2) - log10(sq5);
            t -= (int)t;
            t = pow(10.0, t);
            printf("%d...",(int)(t * 1000));
            Mat aa = A;
            aa = aa ^ (n-1);
            printf("%04d\n",aa.mat[0][0]);
        }
    }
    return 0;
}