题目描述

  给你\(n,p\),求

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^i\gcd(i,j,k)\mod p
\]

  \(n\leq {10}^9\)

题解

\[\begin{align}
ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^i\gcd(i,j,k)\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^i\sum_{d|\gcd(i,j,k)}\varphi(d)\\
&=\sum_{d=1}^n\varphi(d)\sum_{d|i}^n\sum_{d|j}^i\sum_{d|k}^i1\\
&=\sum_{i=1}^n\varphi(i)S_2(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\\
\end{align}
\]

  其中\(S_2(n)=\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

  直接杜教筛。

  时间复杂度:\(O(n^\frac{2}{3})\)

代码

  1. #include<cstdio>
  2. #include<cstring>
  3. #include<algorithm>
  4. using namespace std;
  5. typedef long long ll;
  6. ll p;
  7. int n;
  8. ll fp(ll a,ll b)
  9. {
  10. ll s=1;
  11. for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
  12. if(b&1)
  13. s=s*a%p;
  14. return s;
  15. }
  16. ll inv6;
  17. ll S(ll n)
  18. {
  19. return n*(n+1)%p*(2*n+1)%p*inv6%p;
  20. }
  21. ll g(ll x)
  22. {
  23. return S(n/x);
  24. }
  25. int b[10000010];
  26. int s[10000010];
  27. int pri[1000010];
  28. int cnt;
  29. int b2[10000010];
  30. ll s2[10000010];
  31. const int maxn=10000000;
  32. ll f(ll x)
  33. {
  34. if(x<=maxn)
  35. return s[x];
  36. if(b2[n/x])
  37. return s2[n/x];
  38. b2[n/x]=1;
  39. ll res=x*(x+1)/2%p;
  40. for(int i=2,j;i<=x;i=j+1)
  41. {
  42. j=x/(x/i);
  43. res=(res-(j-i+1)*f(x/i))%p;
  44. }
  45. return s2[n/x]=res;
  46. }
  47. int main()
  48. {
  49. #ifndef ONLINE_JUDGE
  50. freopen("b.in","r",stdin);
  51. freopen("b.out","w",stdout);
  52. #endif
  53. scanf("%d%lld",&n,&p);
  54. inv6=fp(6,p-2);
  55. s[1]=1;
  56. for(int i=2;i<=maxn;i++)
  57. {
  58. if(!b[i])
  59. {
  60. pri[++cnt]=i;
  61. s[i]=i-1;
  62. }
  63. for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=maxn;j++)
  64. {
  65. b[i*pri[j]]=1;
  66. if(i%pri[j]==0)
  67. {
  68. s[i*pri[j]]=s[i]*pri[j];
  69. break;
  70. }
  71. s[i*pri[j]]=s[i]*s[pri[j]];
  72. }
  73. }
  74. for(int i=2;i<=maxn;i++)
  75. s[i]=(s[i-1]+s[i])%p;
  76. ll ans=0;
  77. memset(b2,0,sizeof b2);
  78. for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)
  79. {
  80. j=n/(n/i);
  81. ans=(ans+(f(j)-f(i-1))*g(i))%p;
  82. }
  83. ans=(ans+p)%p;
  84. printf("%lld\n",ans);
  85. return 0;
  86. }

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