HDU 1465 不容易系列之一 （错排公式+容斥）

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Problem Description

大家常常感慨，要做好一件事情真的不容易，确实，失败比成功容易多了！

做好“一件”事情尚且不易，若想永远成功而总从不失败，那更是难上加难了，就像花钱总是比挣钱容易的道理一样。

话虽这样说，我还是要告诉大家，要想失败到一定程度也是不容易的。比如，我高中的时候，就有一个神奇的女生，在英语考试的时候，竟然把40个单项选择题全部做错了！大家都学过概率论，应该知道出现这种情况的概率，所以至今我都觉得这是一件神奇的事情。如果套用一句经典的评语，我们可以这样总结：一个人做错一道选择题并不难，难的是全部做错，一个不对。

不幸的是，这种小概率事件又发生了，而且就在我们身边：

事情是这样的——HDU有个网名叫做8006的男性同学，结交网友无数，最近该同学玩起了浪漫，同时给n个网友每人写了一封信，这都没什么，要命的是，他竟然把所有的信都装错了信封！注意了，是全部装错哟！

现在的问题是：请大家帮可怜的8006同学计算一下，一共有多少种可能的错误方式呢？

Input

输入数据包含多个多个测试实例，每个测试实例占用一行，每行包含一个正整数n（1<n<=20），n表示8006的网友的人数。

Output

对于每行输入请输出可能的错误方式的数量，每个实例的输出占用一行。

Sample Input

2

3

Sample Output

1

2

分析：解法一

首先说一下我自己做这道题时的一个方法吧

对于把n个物品放到n个位置，肯定有n!种放法，这个数学上都有学过，就不进行解释了。

定义：a[i]，表示的是i个物品全部放错有多少种方法。

num[i][j]，表示从i个物品中取出j个有多少种取法，这个可以利用公式来递推的，num[i][j]=num[i-1][j]+num[i][j-1]；

我们再求a[n]的时候的思路呢就是这样的，知道一共有n!中放法，把其减去有1,2，···，n个放对的，剩余的就全是放错的。

有1个放对，也就意味着其余的n-1个都是放错的，我们可以利用之前求出的a[n-1]，还有一点就是确定这一个放对的是哪个就是num[n][1];

有2个放对，也就意味着其余的n-2个都是放错的，我们可以利用之前求出的a[n-2]，还有一点就是确定这两个放对的是哪个就是num[n][2];

·

·

·

有n各放对，肯定有且仅有一种放法；

代码实现：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
long long int a[25];
long long int num[25][25];
void solve()
{
    memset(num,1,sizeof(num));
    a[1]=0;
    a[2]=1;
    a[3]=2;
    num[3][0]=1,num[3][1]=3,num[3][2]=3,num[3][3]=1;
    long long int sum=6;
    for(int i=4; i<=20; i++)
    {
        sum*=i;///当前的阶乘
        a[i]=sum;
        for(int j=1; j<i; j++)///减去1~i-1个全部放错，就是说i-1~1个放对的，（这里i也可以从2开始，因为a[1]=0,不过这样好理解）
        {
            num[i][j]=num[i-1][j]+num[i-1][j-1];
            a[i]=a[i]-a[j]*num[i][j];
        }
        a[i]-=1;///减去i个全部放对的
        num[i][1]=i;
        num[i][i]=1;
    }
}
int main()
{
    int n;
    solve();
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%lld\n",a[n]);
    }
    return 0;
}

解法二：

1、当N=1和2时，易得解～，假设F(N-1)和F(N-2)已经得到，重点分析下面的情况：

2、当有N封信的时候，前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装

3、前者，对于每一种错装，可以从N-1封信中任意取一封和第 N封错装，故=F(N-1) * (N-1)

4、后者简单，只能是没装错的那封信和第N封信交换信封，没装错的那封信可以是前面N-1封信中的任意一个，故= F(N-2) * (N-1)

得到如下递推公式：

基本形式：d[1]=0; d[2]=1 递归式：d[n]= (n-1)*( d[n-1] + d[n-2])

这就是著名的错排公式！

代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int main()
{
    long long int arr[21];
    int num,i;
    arr[1]=0;arr[2]=1;
    for(i=3;i<21;i++)
    arr[i]=(i-1)*(arr[i-1]+arr[i-2]);
    while(scanf("%d",&num)!=EOF)
    {
        cout<<arr[num]<<endl;
    }
}