NOI2015 Day1

NOI2015 Day1

程序自动分析

题目描述：给出等式或不等式\(n\)条，问\(n\)条式子是否成立。

solution：
用并查集处理等式，在判断不等式是否成立。

时间复杂度：\(O(n)\) (hash)

软件包管理器

题目描述：维护一棵树，支持两种操作：
1、询问点到根的点权和，并将路径上的点的权值修改为1
2、询问点的子树的点权和，并将子树的点的权值修改为0

solution：
树链剖分可以很好的解决第一种操作，那第二种操作也可以用树链剖分吗？
可以，先求出重儿子，然后用\(dfs\)建线段树，\(dfs\)时先\(dfs\)重儿子，再\(dfs\)其他儿子，这样既能保证重链在线段树上是连续的，每棵子树在线段树上也是连续的。

时间复杂度：\(O(nlogn)\)

寿司晚宴

题目描述：设正整数集合$A,B, A \cap B = Ø \(，使\)\forall x \in A, \forall y \in B,\(有\)x \in [2, n], y \in [2, n], (x, y)=1\(,给定\)n\(，求集合\)A,B\(对的方案数。\)A,B\(可以为\)Ø$

solution：
\(n \leq 500， \sqrt{n} < 23\),小于\(\sqrt{n}\)的质数只有8个（暂且称为小质数，其它质数称为大质数），所以可以用二进制来表示每个数拥有的小质数因子集合。每个数最多只会有一个大质数因子(大质数 $ >\sqrt{n} \(),所以比较好处理。设状态\)f[i][j][k]\(，表示做完第\)i\(个大质数，\)A\(拥有小质数集为\)j\(，\)B\(拥有小质数集为\)k\($(j \& k=0)\) 的方案数。\(f[0]\)表示没有大质数，所以直接对没有大质数因子的数dp就好了。对于有大质数因子，枚举具有该因子的数\(p\),\(p\)拥有的小质数因子集为\(z\) 转移方程如下：

$ f[i][j][k]=d[j][k][0]+d[j][k][1]+f[i-1][j][k] $

$ d[j | z][k][0]=d[j][k][0]+f[i-1][j][k] $

$ d[j][k | z][1]=d[j][k][1]+f[i-1][j][k] $

先解释第二、三条方程，对于\(d[j][k][q]\)，\(A\)拥有小质数集为\(j\)，\(B\)拥有小质数集为\(k\)的方案数，当\(q=0\)时表示将\(p\)放入\(A\)，当\(q=1\)时表示将\(p\)放入\(B\). 其实就是对拥有该大质数因子的数进行dp。然后将dp的结果用一个总的\(f[i][j][k]\)进行dp（前i个大质数因子的dp）

时间复杂度：\(O(2^{16}n)\)