KMP算法总♂结

讲KM♂P算法之前，我们先讲一个故♂事。

有一天，sgg给了老obo一封信和一个单词，并给他一个任务:找出这封信出现了多少个单词，然后在规定时间内告诉他。

碰到这个问题，老obo会怎么做呢?

首先最直观的想法是什么？

就是先一维循环枚举信字符串的开头，再一维循环枚举单词的长度，一个一个判断是不是相同。这样的时间复杂度是O(n*m)的，n是信的长度，m是单词的长度。

当n*m小的时候，可以在规定时间内出解，然而，要是n*m很大呢?

我们想想有没有能优化以上算法的方法

我们假设一个next数组，next[i]代表1~i部分的字符串，最长的前缀等于后缀是多长，注意，1~i字符串的长度不能作为next[i]存储的答案。

这样有什么用呢?考虑这样:

我们考虑对单词做出这个数组:next={0,0,0,1,0,0,1,2,0}（从0位置开始)

来模拟一下我们一开始匹配的过程

设定一个指针j，初始在0

我们令i在信中从1扫描到8

:1位置，a[i]==b[j+1]，我们令j++

2位置，a[i]==b[j+1],j++

3位置，a[i]==b[j+1],j++

4位置，a[i]==b[j+1],j++

5位置，a[i]==b[j+1],j++

6位置，a[i]==b[j+1],j++

7位置，a[i]==b[j+1],j++

8位置，a[i]!=b[j+1]，那怎么办呢，如果让j直接等于0就相当于功亏一篑，于是我们让j=next[j],这样发现，之前匹配的s没有浪费掉，而且节约了时间。然后j=2,我们验证一下，在b中12位置的"sb"正好等于a中67位置的"sb"!

9位置，a[i]==b[j+1],j++

.........

直到11位置，j==m (m为单词长度)，这表明了匹配成功!

那么我们怎么求这个next数组呢?

先给出模板

 void kmp(){
     next[]=;int j=;
     for (int i=;i<=m;i++){
         while (j>&&b[j+]!=b[i]) j=next[j];
         if (b[j+]==b[i]) j++;
         next[i]=j;
     }
 }

就是这么简♂短，首先,next[1]=0，毋庸置疑，我们之前有声明过，next[i]不能等于1~i的长度。

然后对于后面的i，我们已知了next[i-1]的值，我们先让j=next[i-1],

如果b[j+1]=b[i],说明加上这个字符b[i],就等同于在原来相同的前缀后缀都增加了b[i]这个字符。

如果不相同，那就让j=next[j]，这个部分比较难理解，我们画张♂图

假设这个字符串是单词，此时我的i已经到了9，j此时是4，当第10个字符出现的时候，如果它"失配"了，那么j=next[j],

其中我们知道，next[4]=2,我们看一下，长度为2的"sx"也正好是这个字符串的前缀和后缀，这是因为，如果我当前的next值为4，那么说明我前缀后缀都包含了"sxsx"这个字符串，当我再度让j=next[j]，也就是j从4变成2的时候，"sx"也刚好是他们的前缀后缀了!

这样，O(m)计算next数组的方法就出来了。

obo：那怎么和信匹配呢?

给个模板：

 void match(){
     int j=;
     for (int i=;i<=n;i++){
         while (j>&&b[j+]!=a[i]) j=next[j];
         if (b[j+]==a[i]) j++;
         if (j==m){
             printf("Yes!");
             return;
         }
     }
 }

是不是很眼熟?没错，和处理next的程序很像，这是因为，kmp中处理next的过程正是"自我匹配"的过程，因为如果a能和b匹配，那a中也包含了b，所以匹配的过程本质是一样的。