Fourier Transform

为了在统一框架里分析周期信号与非周期信号，可以给周期信号也建立傅里叶变换。

有两种方法求周期信号的傅里叶变换：

**1. 利用傅里叶级数进行构造 **

对于周期信号\(x(t)\)，其傅里叶级数展开式为：

\[x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}a_ke^{jkw_0t}
\]

系数\(a_k\)表示为：



由于



说明周期性复指数信号的频谱是一个冲激，那么我们推广这个关系，可得：



表明：周期信号的傅里叶变换由一系列等间隔的冲激函数线性组合而成，每个冲激分别位于信号各次谐波的频率处，其强度是傅里叶级数系数的\(2\pi\)倍。

2. 周期延拓

这种方法先将\(x(t)\)在一个周期内截断，得信号\(x_T(t)\)，求出\(x_T(t)\)的傅里叶变换\(X_T(w)\)，再对\(X_T(w)\)周期延拓得\(X(w)\)。

具体来说：

根据\(\delta\)函数性质，有：

\[x(t) = x_T(t)*\sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(t - kT)
\]

设周期冲激串\(\sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(t - kT)\)的傅里叶变换为\(F(w)\)，

由时域卷积定理：

\[X(w) = X_T(w)F(w)
\]

又时域周期为T的周期冲激串的傅里叶变换在频域是一个周期为\(\frac{2\pi}{T}\)的周期冲激串，即：

\[F(w) = \frac{2\pi}{T}\sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(w - \frac{2\pi k}{T})
\]

故可得：

\[X(w) = \frac{2\pi}{T}X_T(w)\sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(w - \frac{2\pi k}{T})
\]

也就是：

\[X(w) = w_0\sum_{k = -\infty}^{+\infty}X_T(kw_0)\delta(w - kw_0)
\]

我们对比两种方法得到的结果，可知：

周期信号傅里叶级数的系数\(a_k = \frac{1}{T}X_T(kw_0)\)