【XSY3048 】Polynominal 数学

题目描述

　　给你三个正整数 \(a,b,c\)，求有多少个系数均为非负整数的多项式 \(f(x)\) 满足 \(f(a)=b\) 且 \(f(b)=c\)

　　\(a,b,c\leq {10}^{18}\)

题解

　　先把一堆情况判掉，接下来只考虑 \(a<b<c\) 的情况。

　　当 \(a\neq 1\) 时，多项式的每一项的系数都 \(<b\)。设 \(c=(c_1c_2\ldots c_n)_b\)，那么唯一可能符合要求的多项式就是 \(f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}c_{n-i}x^i\)。只需要判断 \(f(a)\) 是不是等于 \(b\) 就行了。

　　当 \(a=1\) 时，类似的，只有 \((\sum_{i=1}^nc_i)=1\) 或 \(b\) 时有满足要求的多项式。

　　时间复杂度：\(O(\log V)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<functional>
#include<cmath>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
const ll p=998244353;
ll a1[100010];
int main()
{
	open("a");
	ll x,y,z;
	while(~scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z))
	{
		if(x==1&&y==1)
			if(z==1)
				printf("infinity\n");
			else
				printf("0\n");
		else if(x==y)
			if(z==y)
				printf("2\n");
			else
				printf("0\n");
		else if(y==z)
				printf("1\n");
		else if(x>y||y>z)
			printf("0\n");
		else if(x==1)
		{
			for(int i=1;i<=100;i++)
				a1[i]=0;
			int t1=0;
			ll a=z;
			while(a)
			{
				a1[++t1]=a%y;
				a/=y;
			}
			ll sum=0;
			for(int i=1;i<=100;i++)
				sum+=a1[i];
			if(sum==y||sum==1)
				printf("1\n");
			else
				printf("0\n");
		}
		else
		{
			for(int i=1;i<=100;i++)
				a1[i]=0;
			int t1=0;
			ll b=z;
			while(b)
			{
				a1[++t1]=b%y;
				b/=y;
			}
			int s=1;
			ll s1=0,s2=1;
			for(int i=1;i<=t1;i++)
			{
				s1+=s2*a1[i];
				s2*=x;
			}
			s=(s1==y);
			printf("%d\n",s);
		}
	}
	return 0;
}