Python解释数学系列——分位数Quantile

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1. 分位数计算案例与Python代码

案例1

Ex1： Given a data = [6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36]，求Q1, Q2, Q3, IQR

Solving：

步骤：

1. 排序，从小到大排列data，data = [6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49]

2. 计算分位数的位置

3. 给出分位数

分位数计算法一

pos = (n+1)*p，n为数据的总个数，p为0-1之间的值

Q1的pos = (11 + 1)*0.25 = 3 (p=0.25) Q1=15

Q2的pos = (11 + 1)*0.5 = 6 (p=0.5) Q2=40

Q3的pos = (11 + 1)*0.75 = 9 (p=0.75) Q3=43

IQR = Q3 - Q1 = 28

import math
def quantile_p(data, p):
    pos = (len(data) + 1)*p
    #pos = 1 + (len(data)-1)*p
    pos_integer = int(math.modf(pos)[1])
    pos_decimal = pos - pos_integer
    Q = data[pos_integer - 1] + (data[pos_integer] - data[pos_integer - 1])*pos_decimal
    return Q

data = [6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49]
Q1 = quantile_p(data, 0.25)
print("Q1:", Q1)
Q2 = quantile_p(data, 0.5)
print("Q2:", Q2)
Q3 = quantile_p(data, 0.75)
print("Q3:", Q3)

分位数计算法二

pos = 1+ (n-1)\*p，n为数据的总个数，p为0-1之间的值
Q1的pos = 1 + (11 - 1)\*0.25 = 3.5 (p=0.25) Q1=25.5
Q2的pos = 1 + (11 - 1)\*0.5 = 6 (p=0.5) Q2=40
Q3的pos = 1 + (11 - 1)\*0.75 = 8.5 (p=0.75) Q3=42.5
```
import math
def quantile_p(data, p):
pos = 1 + (len(data)-1)*p
pos_integer = int(math.modf(pos)[1])
pos_decimal = pos - pos_integer
Q = data[pos_integer - 1] + (data[pos_integer] - data[pos_integer - 1])*pos_decimal
return Q
data = [6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49]
Q1 = quantile_p(data, 0.25)
print("Q1:", Q1)
Q2 = quantile_p(data, 0.5)
print("Q2:", Q2)
Q3 = quantile_p(data, 0.75)
print("Q3:", Q3)
```
## 案例2
给定数据集 data = [7, 15, 36, 39, 40, 41]，求Q1,Q2,Q3

分位数计算法一

import math
def quantile_p(data, p):
    data.sort()
    pos = (len(data) + 1)*p
    pos_integer = int(math.modf(pos)[1])
    pos_decimal = pos - pos_integer
    Q = data[pos_integer - 1] + (data[pos_integer] - data[pos_integer - 1])*pos_decimal
    return Q

data = [7, 15, 36, 39, 40, 41]
Q1 = quantile_p(data, 0.25)
print("Q1:", Q1)
Q2 = quantile_p(data, 0.5)
print("Q2:", Q2)
Q3 = quantile_p(data, 0.75)
print("Q3:", Q3)

计算结果：

Q1 = 7 +（15-7）×（1.75 - 1）= 13

Q2 = 36 +（39-36）×（3.5 - 3）= 37.5

Q3 = 40 +（41-40）×（5.25 - 5）= 40.25

分位数计算法二

结果：

Q1: 20.25

Q2: 37.5

Q3: 39.75

2. 分位数解释

**四分位数**
**概念**：把给定的乱序数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数。
**第1四分位数 (Q1)**，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字。
**第2四分位数 (Q2)**，又称“中位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第50%的数字。
**第3四分位数 (Q3)**，又称“较大四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第75%的数字。
**四分位距**（InterQuartile Range, IQR）= 第3四分位数与第1四分位数的差距

确定p分位数位置的两种方法

position = (n+1)*p

position = 1 + (n-1)*p

3. 分位数在pandas中的解释

在python中计算分位数位置的方案采用position=1+(n-1)*p

案例1

import pandas as pd
import numpy as np
df = pd.DataFrame(np.array([[1, 1], [2, 10], [3, 100], [4, 100]]), columns=['a', 'b'])
print("数据原始格式：")
print(df)
print("计算p=0.1时，a列和b列的分位数")
print(df.quantile(.1))

程序计算结果：

序号	a	b
0	1	1
1	2	10
2	3	100
3	4	100

计算p=0.1时，a列和b列的分位数

a 1.3

b 3.7

Name: 0.1, dtype: float64

手算计算结果：

计算a列

pos = 1 + (4 - 1)*0.1 = 1.3

fraction = 0.3

ret = 1 + (2 - 1) * 0.3 = 1.3

计算b列

pos = 1.3

ret = 1 + (10 - 1)* 0.3 = 3.7

案例二

利用pandas库计算data = [6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36]的分位数。

import pandas as pd
import numpy as np
dt = pd.Series(np.array([6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36])
print("数据格式：")
print(dt)
print('Q1:', df.quantile(.25))
print('Q2:', df.quantile(.5))
print('Q3:', df.quantile(.75))

计算结果

Q1: 25.5

Q2: 40.0

Q3: 42.5

4. 概括总结

自定义分位数python代码程序

import math
def quantile_p(data, p, method=1):
    data.sort()
    if method == 2:
        pos = 1 + (len(data)-1)*p
    else:
        pos = (len(data) + 1)*p
    pos_integer = int(math.modf(pos)[1])
    pos_decimal = pos - pos_integer
    Q = data[pos_integer - 1] + (data[pos_integer] - data[pos_integer - 1])*pos_decimal
    Q1 = quantile_p(data, 0.25)
    Q2 = quantile_p(data, 0.5)
    Q3 = quantile_p(data, 0.75)
    IQR = Q3 - Q1
    return Q1, Q2, Q3, IQR

pandas中的分位数程序

直接调用.quantile(p)方法，就可以计算出分位数，采用method=2方法。

参考文献：

1. 分位数概念

2. pandas中的quantile