HDU 5852 Intersection is not allowed!(LGV定理行列式求组合数)题解
题意:有K个棋子在一个大小为N×N的棋盘。一开始,它们都在棋盘的顶端,它们起始的位置是 (1,a1),(1,a2),...,(1,ak) ,它们的目的地是 (n,b1),(n,b2),...,(n,bk)。
一个位于 (r,c) 的棋子每一步只能向右走到 (r,c+1) 或者向下走到 (r+1,c) 。
我们把 i 棋子从 (1,ai) 走到 (n,bi) 的路径记作 pi 。
你的任务是计算有多少种方案把n个棋子送到目的地,并且对于任意两个不同的棋子 i,j ,使得路径 pi 与 pj 不相交(即没有公共点)。
思路:这里有一个结论,n个起点到n个终点的不相交路径的种数为:每个起点到每个终点的可能数组成的n*n的矩阵的行列式。
即求上矩阵行列式,其中e(ai,bi)代表从ai起点到bi终点的可能路径数量。
行列式求解用高斯消元。提交要用G++,C++一直超时emmmm
参考:HDU 5852:Intersection is not allowed!(行列式+逆元求组合数)
代码:
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + ;
const int seed = ;
const ll MOD = ;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int a[maxn], b[maxn];
ll e[][];
ll fac[maxn << ], niYuan[maxn << ];
ll pmul(ll a, ll b){
ll ans = ;
while(b){
if(b & ) ans = ans * a % MOD;
a = a * a % MOD;
b >>= ;
}
return ans;
}
ll C(int n, int m){
ll ret = fac[n] * niYuan[m] % MOD;
return ret * niYuan[n - m] % MOD;
}
void initFac(){
fac[] = niYuan[] = ;
for(ll i = ; i <= ; i++){
fac[i] = fac[i - ] * i % MOD;
niYuan[i] = pmul(fac[i], MOD - );
}
}
ll guass(int n){
ll ans = , f = ; //行列式和符号位
for(int i = ; i <= n; i++){
for(int j = i + ; j <= n; j++){
int x = i, y = j;
while(e[y][i]){
ll t = e[x][i] / e[y][i];
for(int k = i; k <= n; k++)
e[x][k] = (e[x][k] - e[y][k] * 1LL * t % MOD) % MOD;
swap(x,y);
}
if(x != i){
for(int k = ; k <= n; k++)
swap(e[i][k], e[j][k]);
f = -f;
}
}
ans = ans * e[i][i] % MOD;
if(ans == ) return ;
}
return (ans * f + MOD) % MOD;
}
int main(){
initFac();
int t;
scanf("%d", &t);
while(t--){
int n, k;
scanf("%d%d", &n, &k);
for(int i = ; i <= k; i++)
scanf("%d", &a[i]);
for(int i = ; i <= k; i++)
scanf("%d", &b[i]);
for(int i = ; i <= k; i++){
for(int j = ; j <= k; j++){
if(b[j] >= a[i]){
e[i][j] = C(n - + b[j] - a[i], b[j] - a[i]);
}
else e[i][j] = ;
}
}
printf("%lld\n", guass(k));
}
return ;
}
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