USACO 5.4 章节

Canada Tour

题目大意

双向连通图,点从左向右排列，

你需要先从最左的点到最右的点，（过程中只能从左向右走）

然后再从最右的点返回最左的点，（过程中只能从右向左走）

过程中除了最左的点，其它点都至多能经过一次

求最多能经过的点的个数

题解

从右向左走反过来，就是说从左向右走，题目变成从最左两条不相交到达最右的路径，经过最多的点

一个问题是如何解决没有重复的点

这里的解决方案是

dp[i][j]表示没有重复的点的情况下 一条路径走到点i，一条路径走到点j，经过的点的最大的个数

在状态转移的时候需要保证新的状态有i<j,

dp[i][j] = dp[i][k]+1 ,如果k->j有路径， 我们保证了除了初始点dp[0][0]=1以外，任何i不等于0，有dp[i][i] = 0,

证明一下

首先任何可达的状态不会遗漏，假设存在路径 一边到i，一边到j，（不妨设i<j）那么有它的来源一定能从[i][k]来

再不重复点证明

抛开初始点

因为保证了i<j,dp[i][j]的来源仅为dp[i][k],我们有k一定不等于i，所以只要dp[i][k]是没有重复点的即可

因此递归可证明，这样的dp是不会经过重复点，

最后考虑都到达最右的点，那么发现和dp[i][最右]的 经过的点数一致，注意的是 注意判断点i到最右点是否有路径

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)

using namespace std;

const string filename = "tour";

void usefile(){
  freopen((filename+".in").c_str(),"r",stdin);
  freopen((filename+".out").c_str(),"w",stdout);
}

char s[210],t[210];
map<string,int>str2idx;
int n,m,mp[110][110],dp[110][110];
int main(){
  usefile();
  scanf("%d%d",&n,&m);
  rep(i,0,n){
    scanf("%s",s);
    str2idx[s]=i;
  }
  rep(i,0,m){
    scanf("%s %s",s,t);
    mp[str2idx[s]][str2idx[t]]=1;
    mp[str2idx[t]][str2idx[s]]=1;
  }
  int ans=1;
  dp[0][0]=1;
  rep(i,0,n){
    rep(j,i+1,n){
      rep(k,0,j){
        if(mp[j][k]&&dp[i][k]&&dp[i][k]+1>dp[i][j]){
          dp[i][j]=dp[j][i]=dp[i][k]+1;
        }
      }
    }
    if(mp[i][n-1]){
      ans=max(ans,dp[i][n-1]);
    }
  }
  printf("%d\n",ans);
}

Character Recognition

题目大意

先提供空格和26个小写字母的 字符画01矩阵，每个字符都是20*20

然后 你需要解析一段n*20字符矩阵，n行20列

这段矩阵和标准的差异是，

1. 对于一个字符，可能某一行被倍增了 变成21行，它紧接着倍增那行
2. 对于一个字符，可能某一行被吞了 变成19行
3. 0 和 1 和真实值不同

上面问题可以存在的组合有，和原始完全一致，单纯1，单纯2,1+3,2+3，其中 0和1 的改变率小于等于30%

题目呢，可以说相当于 USACO帮我们建了个OCR的模型！！！我们在该模型下实现算法

题解

f[i]表示从最开始到第i行最小误差

f[i] = min(f[i-19]+19行来匹配，f[i-20]+20行来匹配,f[i-21]+21行来匹配)

我们预先处理　所有字符的行(27*20)　和　目标匹配的行N

O(N*27*20)

然后 直接dp，O(N*(20*3)) 理论上如果做了前缀和后缀和优化

实现如下

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)

using namespace std;

const string filename = "charrec";

void usefile(){
  freopen((filename+".in").c_str(),"r",stdin);
  freopen((filename+".out").c_str(),"w",stdout);
}

int n,m;
char str[]=" abcdefghijklmnopqrstuvwxyz";
char s[30][30][30];// 标准字符集[idx][i][j]
char t[1210][30]; // 目标字符串[i][j]
int diff[30][30][1210]; // 预处理 [字符idx][字符的i行][目标的j行] = 01差异和
tuple<int,int,int>dp[1210]; // {最小代价，父节点，字符}
const int SUP = 1000000;

// 从st行开始匹配len行，返回{最小的代价，匹配的字符};
pair<int,int> solve(int st,int len){
  pair<int,int>ret= {SUP,-1};
  rep(i,0,27){
    if(len==20){
      int sum=0;
      rep(k,0,20){
        sum+=diff[i][k][st+k];
      }
      ret= min(ret,{sum,i});
    }else{
      // 这边重复计算了， 这里可以用前缀和 后缀和继续优化, 目测可以优化掉约10-20倍性能
      // 不过因为USACO的数据比较小 这样已经是0.1s内了 就没写优化了
      rep(j,0,20){ // 枚举删掉或增加的行
        int p=st,sum=0;
        rep(k,0,j){
          sum+=diff[i][k][p++];
        }
        if(len==21){ // 19为删掉 21为增加
          sum+=diff[i][j][p++];
          sum+=diff[i][j][p++];
        }
        rep(k,j+1,20){
          sum+=diff[i][k][p++];
        }
        ret= min(ret,{sum,i});
      }
    }
  }
  return ret;
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);
  freopen("font.in","r",stdin);
  freopen("charrec.out","w",stdout);
  scanf("%d",&n);
  rep(idx,0,27){
    rep(i,0,20){
      scanf("%s",s[idx][i]);
    }
  }
  fclose(stdin);
  freopen("charrec.in","r",stdin);
  scanf("%d",&m);
  rep(i,0,m){
    scanf("%s",t[i]);
    dp[i] = {SUP,0,0};
  }
  // 预处理 把每个字符的每一行 都和 目标字符比
  // 目标k行 和 第x个字符 的y行 比较不同的01个数
  rep(idx,0,27){
    rep(i,0,20){
      rep(mm,0,m){
        rep(j,0,20){
          diff[idx][i][mm]+=s[idx][i][j]!=t[mm][j];
        }
      }
    }
  }
  rep(i,18,m){
    rep(len,19,22){
      auto [cost,idx]=solve(i-len+1,len);
      dp[i] = min(dp[i], {cost+(i-len<0?0:get<0>(dp[i-len])),i-len,idx});
    }
  }
  vector<char>ans;
  int i=m-1;
  do{
    ans.push_back(str[get<2>(dp[i])]);
  }while((i=get<1>(dp[i]))>0);
  per(itr,0,ans.size()){
    printf("%c",ans[itr]);
  }
  printf("\n");
  return 0;
}

Telecowmunication

题目大意

100点，无向图

网络流，最小字典序的最小割点

记得前不久才有一个USACO的 最大流问题

题解

老生常谈了，=。=难道是我练题的顺序不对，感觉在刚刚学完最大流 最小割的时候，就会学到拆点啊。

然后直接最小割点就出来了，然后字典序就依次枚举 再计算？想了想编码似乎不可行 1 + 100 vs 2+3若都是可行的，显然前面的字典序小

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)

using namespace std;

const string filename = "telecow";

void usefile(){
  freopen((filename+".in").c_str(),"r",stdin);
  freopen((filename+".out").c_str(),"w",stdout);
}

int n,m,c1,c2;

int p2p[210][210];

int vis[210];
int flow[210][210];

void clearvis(){
  rep(i,1,2*n+1){
    vis[i]=false;
  }
}

void dup(){
  rep(i,1,2*n+1){
    rep(j,1,2*n+1){
      flow[i][j]=p2p[i][j];
    }
  }
}

int stk[210];

int bfs(int idx,int dst){
  clearvis();
  int st = 0,rear=0;
  stk[rear++]=idx;
  vis[idx] = true;
  while(st<rear){
    int p = stk[st];
    rep(i,1,n*2+1){
      if(vis[i])continue;
      if(flow[p][i]){
        if(i == dst){
          return true;
        }
        stk[rear++]=i;
        vis[i]=true;
      }
    }
    st++;
  }
  return false;
}

int dfs(int idx,int dst){
  if(idx == dst){
    return 1;
  }
  vis[idx] = true;
  rep(i,1,2*n+1){
    if(vis[i])continue;
    if(!flow[idx][i])continue;
    int r = dfs(i,dst);
    if(r){
      flow[idx][i] -= r;
      flow[i][idx] += r;
      return r;
    }
  }
  return 0;
}

int maxflow(){
  int ret =0;
  while(bfs(c1*2,c2*2-1)){
    clearvis();
    ret+=dfs(c1*2,c2*2-1);
  }
  return ret;
}

void addp(int p1,int p2){
  int p1i=p1*2-1;
  int p1o=p1*2;
  int p2i=p2*2-1;
  int p2o=p2*2;
  if(p1!=c1 && p2 != c2){
    p2p[p2o][p1i] = 1;
  }
  if(p1!=c2 && p2 != c1){
    p2p[p1o][p2i] = 1;
  }
}

int main(){
  usefile();
  cin>>n>>m>>c1>>c2;
  rep(i,0,m){
    int a,b;
    scanf("%d %d",&a,&b);
    addp(a,b);
  }
  rep(i,1,n+1){
    p2p[i*2-1][i*2]=1;
  }
  dup();
  int ans = maxflow();
  cout<<ans<<endl;
  vector<int>ps;
  rep(i,1,n+1){
    if(i== c1 || i==c2){
      continue;
    }
    dup();
    flow[i*2-1][i*2]=0;
    int ret = maxflow();
    if(ret == ans-1){
      ps.push_back(i);
      ans-=1;
      p2p[i*2-1][i*2]=0;
    }
  }
  rep(i,0,ps.size()){
    printf("%d%c",ps[i]," \n"[i==ps.size()-1]);
  }
  return 0;
}

总结

第一题的DP的方法，我要是打cf没遇到，估计是想不出怎么处理路径不重复点 的 这样的状态转移

第二题的DP实现没啥好说的，但这样一个OCR模型 感觉也是很“实际”

第三题 emmmm 感觉刚学完网络流的时候 就知道拆点，好像没什么特别的。