Basic Thought / Data Structure: 差分 Difference

Intro:

作为查询界的 $O(1)$ 王者——前缀和的亲兄弟，差分，他可是修改界的 $O(1)$ 王者

Prerequisite knowledge:

Function: 仅单次询问的区间修改

先想一想朴素算法怎么做吧

对于输入的每一组 $(x,y)$ ，遍历序列 $a_{x..y}$ ，每一项加上 $z$ ，代码如下

while(p--)for(int i(x);i<=y;++i)a[i]+=z;

Time complexity: $O(np)$

Memory complexity: $O(n)$

这个时间复杂度明显不行，只要修改长度大了，修改时间就会变长

发现 查询只有一次

也就是说如果可以把数组变一下，使得修改 $O(1)$ ，而查询 $O(n)$ ，就可以接受了

我们构造一个数组 $d_{1..n}$ ，其中

$d_i=a_i-a_{i-1}, 1\leqslant i\leqslant n$

也就是说 $d$ 的每一项都是原来 $a$ 的同位项与 $a$ 的前一项的差

反过来看的话，$a_i=a_{i-1}+d_i$（是不是有点眼熟呢）

没错！ $a_i=\sum_{j=1}^id_j$ ，是前缀和！

考虑一下对 $d_i$ 加上 $v$ 对 $a$ 会有什么效果

对于 $a_{1..i-1}$ ，没效果

对于 $a_{i..n}$ ，每一个值都加上了 $v$ （认真思考下为什么）

所以对于每一次区间修改 $(l,r,v)$ （表示对 $a_{l..r}$ 每一个元素加上 $v$ ），对 $d$ 来说，只不过是把 $d_l$ 加上 $v$ ， $d_{r+1}$ 减去 $v$ 而已

这就是$d_{1..n}$，差分数组

最后如果想要把$d$数组变回$a$数组，只要对$d$构造前缀和数组即可（这就是为什么我说差分是前缀和的逆运算了）

Code:

构造 $d_{1..n}$ ：

for(int i(n);i>=1;--i)d[i]=a[i]-a[i-1];

P.s: 其实顺序没有关系，但是如果原址构造必须倒序

修改

d[l]+=v,d[r+1]-=v;

更新原数组

for(int i(1);i<=n;++i)a[i]=a[i-1]+d[i]

Time complexity: $O(n)$ 预处理 $O(1)$ 修改 $O(n)$ 查询（以后这三项简称为 $O(n)-O(1)-O(n)$）

Memory complexity: $O(n)$

P.s 同样的，可以直接将原数组变成差分数组，则不需要额外空间，代码如下（必须倒序）

for(int i(n);i>=2;--i)a[i]-=a[i-1];

于是本题的答案就出来啦，具体见代码（记得开long long）

//This program is written by Brian Peng.

#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")

#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long

#define Rd(a) (a=read())

#define Gc(a) (a=getchar())

#define Pc(a) putchar(a)

inline int read(){

	register int x;register char c(getchar());register bool k;

	while(!isdigit(c)&&c^'-')if(Gc(c)==EOF)exit(0);

	if(c^'-')k=1,x=c&15;else k=x=0;

	while(isdigit(Gc(c)))x=(x<<1)+(x<<3)+(c&15);

	return k?x:-x;

}

void wr(register int a){

	if(a<0)Pc('-'),a=-a;

	if(a<=9)Pc(a|'0');

	else wr(a/10),Pc((a%10)|'0');

}

signed const INF(0x3f3f3f3f),NINF(0xc3c3c3c3);

long long const LINF(0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL),LNINF(0xc3c3c3c3c3c3c3c3LL);

#define Ps Pc(' ')

#define Pe Pc('\n')

#define Frn0(i,a,b) for(register int i(a);i<(b);++i)

#define Frn1(i,a,b) for(register int i(a);i<=(b);++i)

#define Frn_(i,a,b) for(register int i(a);i>=(b);--i)

#define Mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

#define File(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout)

#define N (5000010)

int n,p,a[N],x,y,z,ans(LINF);

signed main(){

	Rd(n),Rd(p);

	Frn1(i,1,n)Rd(a[i]);

	Frn_(i,n,1)a[i]-=a[i-1];

	while(p--)Rd(x),Rd(y),a[x]+=Rd(z),a[y+1]-=z;

	Frn1(i,1,n)ans=min(ans,a[i]+=a[i-1]);

	wr(ans),exit(0);

}

Example:

洛谷P3717 [AHOI2017初中组]cover

（这不是暴力就可以了吗）

当然正解就是暴力，所以假设 $n,m,r\leqslant 1000$ ，再看看这道题

这道题就是典型的区间修改（将可以覆盖的地方 $+1$ ）与单次查询（最后问 $>0$ 的有几个）

于是以行为单位差分，每一次修改相当于对每一行的元素做区间修改

但是每一行被修改的位置和长度互不相同，具体取决于半径 $r$ 和行号 $i$ 到圆心所在行号 $y$ 的距离 $|i-y|$

假设存在 $e_{0..r}$ 数组， $e_i$ 表示斜边为 $r$ ，对边为 $i$ 的直角三角形的邻边长度的整数部分，即 $e_i=\lfloor\sqrt{r^2-i^2}\rfloor$

那么对于第 $i$ 行，如果圆心是 $(x,y)$ ，半径为 $r$ ，覆盖的区间就是 $[max(1,x-e_{|i-y|}),min(n,x+e_{|i-y|})]$ （可别忘了处理边界）

最后是如何计算 $e$ 数组

（当然可以直接使用sqrt()）

但是注意到$e$数组具有不上升单调性，可以使用一种类似递推的方法做，保证计算$O(n)$（虽然说其实完全没有必要啦）

具体做法就请大家自己想啦（其实是本蒟蒻太懒了），上代码

//This program is written by Brian Peng.

#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")

#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define Rd(a) (a=read())

#define Gc(a) (a=getchar())

#define Pc(a) putchar(a)

inline int read(){

	register int x;register char c(getchar());register bool k;

	while(!isdigit(c)&&c^'-')if(Gc(c)==EOF)exit(0);

	if(c^'-')k=1,x=c&15;else k=x=0;

	while(isdigit(Gc(c)))x=(x<<1)+(x<<3)+(c&15);

	return k?x:-x;

}

void wr(register int a){

	if(a<0)Pc('-'),a=-a;

	if(a<=9)Pc(a|'0');

	else wr(a/10),Pc((a%10)|'0');

}

signed const INF(0x3f3f3f3f),NINF(0xc3c3c3c3);

long long const LINF(0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL),LNINF(0xc3c3c3c3c3c3c3c3LL);

#define Ps Pc(' ')

#define Pe Pc('\n')

#define Frn0(i,a,b) for(register int i(a);i<(b);++i)

#define Frn1(i,a,b) for(register int i(a);i<=(b);++i)

#define Frn_(i,a,b) for(register int i(a);i>=(b);--i)

#define Mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

#define File(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout)

#define N (110)

int n,m,r,a[N][N],e[N],x,y,ans;

signed main(){

	Rd(n),Rd(m),*e=Rd(r);

	Frn1(i,1,r){e[i]=e[i-1];while(e[i]*e[i]+i*i>r*r)--e[i];}

	while(m--){

		Rd(x),Rd(y);

		Frn1(i,max(1,y-r),min(n,y+r)){

			++a[max(1,x-e[abs(i-y)])][i];

			--a[min(n,x+e[abs(i-y)])+1][i];

		}

	}

	Frn1(i,1,n)Frn1(j,1,n)if(a[i][j]+=a[i-1][j])++ans;

	wr(ans),exit(0);

}

（个人认为如果$n,m,r\leqslant 1000$，这道题至少上绿）

到此为止差分的所有基本操作都讲完啦！

Conclusion & Extension:

差分在区间修改和单词查询问题上，有着 $O(n)-O(1)-O(n)$ 的优秀复杂度

它的基本思想就是用一个数字的变化表示一段区间的整体变化，达到优化的目的

其实，大家有木有感觉到这个差分有点像离散版的微分（把 $\Delta x$ 设为 $1$ ）？

当差分遇上数据结构，一段美妙的旅程又将开始：树状数组（嘻嘻嘻又是我）

到此为止本篇文章就圆满结束啦，请各位奆佬们多多指教和支持，THX!