[bzoj1041] [洛谷P2508] [HAOI2008] 圆上的整点

Description###

求一个给定的圆(x^2+y2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

Input###

只有一个正整数n,n<=2000 000 000

Output###

整点个数

Sample Input###

4

Sample Output###

4

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想法##

嗯哼，一道数学题。

开始推柿子。

首先我们只需求出满足 $ x^2 + y^2 = z^2 $ 的正整数对数即可，乘以4后再加4便为答案

\[x^2+y^2=z^2 \\
y^2=z^2-x^2=(z+x)(z-x) \\
设\quad d=gcd(z+x,z-x) \\
那么 \quad y^2=d^2 \frac{z+x}{d} \frac{z-x}{d} \\
这里面 \frac{z+x}{d} 与 \frac{z-x}{d} 互质，所以 \frac{z+x}{d} 和 \frac{z-x}{d} 都为完全平方数 \\
设 \frac{z+x}{d}为A， \frac{z-x}{d}为B \\
设A=a^2,B=b^2 \\
a^2+b^2=\frac{2z}{d} \\
故，我们可以枚举2z的每一个约数d，然后再枚举每一对满足a^2+b^2=\frac{2z}{d}的a和b \\
得到a,b后要带回去算出A，B，判断是否gcd(A,B)=1且A \neq B
\]

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代码##

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll n,m,ans=0;
ll gcd(ll a,ll b) { return b ? gcd(b,a%b) : a; }

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    m=sqrt(n*2);
    for(ll d=1;d<=m;d++){
        if((n*2)%d) continue;
        for(ll a=1;a*a*2<=d;a++){
            ll b=sqrt(d-a*a);
            if(b*b!=d-a*a) continue;
            ll A=a*a,B=b*b;
            if(gcd(A,B)!=1 || A==0 || B==0 || A==B) continue;
            ans+=4;
        }
        for(ll a=1;a*a*2<=n*2/d;a++){
            ll b=sqrt(n*2/d-a*a);
            if(b*b!=n*2/d-a*a) continue;
            ll A=a*a,B=b*b;
            if(gcd(A,B)!=1 || A==0 || B==0 || A==B) continue;
            ans+=4;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans+4);

    return 0;
}