NOIP模拟 6.26

T1 子矩阵

题目描述

小A有一个N×M的矩阵，矩阵中1~N*M这(N*M)个整数均出现过一次。现在小A在这个矩阵内选择一个子矩阵，其权值等于这个子矩阵中的所有数的最小值。小A想知道，如果他选择的子矩阵的权值为i(1<=i<=N×M)，那么他选择的子矩阵可能有多少种？小A希望知道所有可能的i值对应的结果，但是这些结果太多了，他算不了，因此他向你求助。

输入格式：

第一行，两个整数N, M。

接下来的N行，每行M个整数，表示矩阵中的元素。

输出格式：

N×M行，每行一个整数，其中第i行的整数表示如果小A选择的子矩阵权值为i，他选择的子矩阵的种类数。

输入样例#1：

2 3

2 5 1

6 3 4

输出样例#1：

6

4

5

1

1

1

题解：

部分枚举，扫描列的典型模型

枚举两个行数i,j（规定i <= j）,寻找[i,j]行内的矩形

递推可得[i,j]行内每一列的最小值

维护单调递增的栈，计算L[k]（在[i,j]行内选择第k列，则向左最远能够选到L[k]列）,R[i]（在[i,j]行内选择第k列，则向右最远能够选到R[k]列）

乘法原理得到左右行数在[i,j]内的、包含第k列的子矩阵

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
inline void read(int &x){x = 0;char ch = getchar();char c = ch;while(ch > '9' || ch < '0')c = ch, ch = getchar();while(ch <= '9' && ch >= '0')x = x * 10 + ch - '0',ch = getchar();if(c == '-')x = -x;}
inline void swap(int &a, int &b){int tmp = a;a = b;b = tmp;}
inline int max(int a, int b){return a > b ? a : b;}
inline int min(int a, int b){return a < b ? a : b;}

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 5000 + 10;
const int MAXM = 100000;

int n,m,num[MAXN][MAXN];
int stack[MAXM], top;
int mi[MAXM];
int L[MAXM],R[MAXM];
int ans[MAXM];

int main()
{
	read(n);read(m);
	for(int i = 1;i <= n;++ i)
		for(int j = 1;j <= m;++ j)
			read(num[i][j]);
	//枚举上面的行i
	for(register int i = 1;i <= n;++ i)
	{
		//注意清为最大值
		memset(mi, 0x3f, sizeof(mi));

		//枚举i以下的行j
		for(register int j = i;j <= n;++ j)
		{
			 //求得行[i,j]范围内的每一列的最小值
			for(register int k = 1;k <= m;++ k)
				mi[k] = min(mi[k], num[j][k]);

			//正向扫描求R，维护一个递增（或相等）单调栈
			for(register int k = 1;k <= m;++ k)
			{
				while(top && mi[k] < mi[stack[top]])
				{
					R[stack[top]] = k - 1;
					-- top;
				}
				stack[++top] = k;
			}
			while(top)
			{
				R[stack[top]] = m;
				-- top;
			}

			//反向扫描求L，维护一个递增（或相等）单调栈
			 for(int k = m;k >= 1;k --)
			 {
			 	while(top && mi[k] < mi[stack[top]])
			 	{
			 		L[stack[top]] = k + 1;
					-- top;
			 	}
			 	stack[++top] = k;
			 }
			 while(top)
			 {
			 	L[stack[top]] = 1;
			 	-- top;
			 }

			 //扫描列，累加答案
			 for(register int k = 1;k <= m;k ++)
			 {
			 	ans[mi[k]] += (k - L[k] + 1) * (R[k] - k + 1);
			 }
		}
	}
	register int tmp = n * m;
	for(register int i = 1;i <= tmp;++ i)
	{
		printf("%d\n", ans[i]);
	}
	return 0;
}

T2 序列操作

题目描述

小B有一个整数序列a[1..N]，初始时序列中所有元素均为0。他会在序列上进行下面两种操作，操作共M个：

1、A l r x：将a[l..r]均加上x。

2、Q l r：询问a[l..r]中的最大值。

输入格式：

第一行，两个整数N, M。

接下来的M行，每行一个操作。

输出格式：

设询问操作有T个，则输出T行，每行一个整数，表示询问操作对应的答案。

输入样例#1：

5 5

A 1 4 1

A 2 5 2

Q 1 4

A 3 4 -2

Q 3 5

输出样例#1：

3

2

题解：线段树裸题

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <algorithm>
inline void read(int &x){x = 0;char ch = getchar();char c = ch;while(ch > '9' || ch < '0')c = ch, ch = getchar();while(ch <= '9' && ch >= '0')x = x * 10 + ch - '0',ch = getchar();if(c == '-')x = -x;}
inline void swap(int &a, int &b){int tmp = a;a = b;b = tmp;}
inline int max(int a, int b){return a > b ? a : b;}
inline int min(int a, int b){return a < b ? a : b;}

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 100000 + 10;
const int MAXM = 100000 + 10;

int sgtmax[MAXN];
int sgtlazy[MAXN];
int n,m;

inline void putdown(int& o, int& l, int& r)
{
	sgtmax[o << 1] += sgtlazy[o];
	sgtlazy[o << 1] += sgtlazy[o];
	sgtlazy[o << 1 | 1] += sgtlazy[o];
	sgtmax[o << 1 | 1] += sgtlazy[o];
	sgtlazy[o] = 0;
}

void modify(int ll, int rr, int k, int o = 1, int l = 1, int r = n)
{
	if(ll <= l && rr >= r)
	{
		sgtmax[o] += k;
		sgtlazy[o] += k;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(sgtlazy[o])putdown(o, l, r);
	if(mid >= ll)modify(ll, rr, k, o << 1, l, mid);
	if(mid < rr)modify(ll, rr, k, o << 1 | 1, mid + 1, r);
	sgtmax[o] = max(sgtmax[o << 1], sgtmax[o << 1 | 1]);
}

int ask(int ll, int rr, int o = 1, int l = 1, int r = n)
{
	if(ll <= l && rr >= r)
	{
		return sgtmax[o];
	}
	int mid = (r + l) >> 1;
	if(sgtlazy[o])putdown(o, l, r);
	int ans = -INF;
	if(mid >= ll)ans = max(ans, ask(ll, rr, o << 1, l, mid));
	if(mid < rr)ans = max(ans, ask(ll, rr, o << 1 | 1, mid + 1, r));
	return ans;
}

int main()
{
	read(n);read(m);
	register int i,tmp1,tmp2,tmp3;
	register char c;
	for(i = 1;i <= m;i ++)
	{
		c = getchar();
		while(c != 'A' && c != 'Q')c = getchar();
		if(c == 'A')
		{
			read(tmp1);read(tmp2);read(tmp3);
			modify(tmp1, tmp2, tmp3);
		}
		else
		{
			read(tmp1);read(tmp2);
			printf("%d\n", ask(tmp1, tmp2));
		}
	}
	return 0;
}

T3 议案决定

题目描述

小C在玩一个游戏，在游戏中他扮演国王的角色。国王手下有M个大臣，他们有一天对国王要处理的N件事务进行投票。 每个大臣可以对两件事务进行投票（赞成或反对），格式如下：x c_x y c_y（x, y为整数，c_x, c_y为“Y”（表示赞成）或“N”（表示反对）（不含双引号），表示这个大臣对事务x的态度为c_x，对事务y的态度为c_y）。这些大臣非常难以对付，如果国王的决定和某个大臣的两个意见都不同，那么这个大臣就会离开国王。小C认为不能让任何一个大臣离开国王，否则国王就无法正常地处理自己的事务。 请你帮助小C做个决定。

输入格式：

第一行，两个整数N, M。

接下来的M行，每行表示一个大臣的投票。

输出格式：                      

如果小C无论如何都只能让至少一个大臣离开国王，则输出“IMPOSSIBLE”（不含双引号），否则输出一个长度为N的字符串 ，如果第i件事务必须赞成，则第i个字符为“Y”；如果第i件事务必须反对，则第i个字符为“N”，否则第i个字符为“?”。

输入样例#1：

3 4

1 Y 2 N

1 N 2 N

1 Y 2 Y

输出样例#1：

YN?

题解：

经典2-SAT问题

点u->v代表u发生则v必然发生

每一个条件可以拆为这样的两个条件

如1 Y 2 N  对应的是  1N->2N   2Y->1Y

我们把1Y  1N称为对立节点

符合条件的情况是，从节点i出发找一条路径，路径上不会遇到i的对立节点。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>

const int MAXN = 80000 + 10;

inline void read(int &x){x = 0;char ch = getchar();char c = ch;while(ch > '9' || ch < '0')c = ch, ch = getchar();while(ch <= '9' && ch >= '0')x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();if(c == '-')x = -x;}
inline void read(char& x){x = 0;while(x != 'Y' && x != 'N')x = getchar();}

struct Edge{int u,v,next;}edge[MAXN << 1];
int head[MAXN << 1],cnt;
void insert(int a, int b){edge[++cnt] = Edge{a,b,head[a]};head[a] = cnt;}

int n,m;

int ans[MAXN];

//Y:ou shu N:ji shu 

int match[MAXN << 1];

int dfs(int u)
{
	for(int pos = head[u];pos;pos = edge[pos].next)
	{
		int v = edge[pos].v;
		if(!v || v == 1)continue;
		if(v & 1)
		{
			if(match[v - 1])return 0;
			if(match[v])continue;
			match[v] = 1;
			int tmp = dfs(v);
			if(!tmp) return 0;
		}
		else
		{
			if(match[v | 1])return 0;
			if(match[v])continue;
			match[v] = 1;
			int tmp = dfs(v);
			if(!tmp)return 0;
		}
	}
	return 1;
}

inline int check(int i)
{
	memset(match, 0, sizeof(match));
	match[i] = 1;
	return dfs(i);
}

const char a[3] = {'?', 'Y', 'N'};

int main()
{
	read(n);read(m);
	register char c1,c2;register int tmp1, tmp2;
	register int i;
	for(i = 1;i <= m;++ i)
	{
		read(tmp1);read(c1);read(tmp2);read(c2);
		if(c1 == 'Y' && c2 == 'N')
		{
			insert(tmp1 << 1 | 1, tmp2 << 1 | 1);
			insert(tmp2 << 1, tmp1 << 1);
		}
		else if(c1 == 'Y' && c2 == 'Y')
		{
			insert(tmp2 << 1 | 1, tmp1 << 1);
			insert(tmp1 << 1 | 1, tmp2 << 1);
		}
		else if(c1 == 'N' && c2 == 'N')
		{
			insert(tmp2 << 1, tmp1 << 1 | 1);
			insert(tmp1 << 1, tmp2 << 1 | 1);
		}
		else if(c1 == 'N' && c2 == 'Y')
		{
			insert(tmp2 << 1 | 1, tmp1 << 1 | 1);
			insert(tmp1 << 1, tmp2 << 1);
		}
	}

	for(i = 1;i <= n;i ++)
	{
		tmp1 = check(i << 1);
		tmp2 = check(i << 1 | 1);
		if(tmp1 && tmp2)ans[i] = 0;
		else if(tmp1)ans[i] = 1;
		else if(tmp2)ans[i] = 2;
		else
		{
			printf("IMPOSSIBLE");
			return 0;
		}
	}

	for(int i = 1;i <= n;i ++)
	{
		printf("%c", a[ans[i]]);
	}
	return 0;
}