矩阵乘法优化DP

本文讲一下一些基本的矩阵优化DP的方法技巧。

定义三个矩阵A,B,C,其中行和列分别为$m\times n,n \times p,m\times p$，（其中行是从上往下数的，列是从左往右数的）

$C_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}A_{i,k}\times B_{k,j}$

矩阵乘法具有结合律，但没有交换律，可以乘方、求逆。

做矩阵优化DP的题目步骤：

$1\quad$把$DP$方程推出来（假如不能手推，可以先打$10$项左右的表，然后再写一个程序找每一项的系数，一般不会超过$5$项，否则矩阵太大了）

$2\quad$打横把系数写出来（注意$i-1$先写，接下来是$i-2$，以此类推，没有的项补$0$）

$3\quad$把矩阵补成项数$\times $项数，下面从第一个位置开始，对角线上写$1$（第一行忽略，其他写$0$）

$4\quad$把初始矩阵按下标从大到小写出来，一定要打竖

$5\quad$把题目要求的第$n$项的先减去矩阵的边长，然后进行快速幂，最后初始矩阵的第一个数就是答案

其实大家可以用横着写初始矩阵，竖着写系数的方法理解，但是为了减少常数，我们不可能两个矩阵开到一样大，所以我们适应计算机的理解，竖着写更方便，而且基本正确。

还可以用判断是否为$0$、改变转移顺序、人工$mod$的速度来卡常数。

对于一些不止一维的题目，可以把后面几维顺着写下去（像二维并查集一样），有常数项的可以写到矩阵里面去。

理论时间复杂度：$O(\log_{2}({p^{2}\times n})$其中$n$是要求的第n项答案，$p$是矩阵的大小。