【LOJ】#2550. 「JSOI2018」机器人

题解

我不会打表找规律啊QAQ

规律就是

对于\(n = m\)我们每一条左下到右上的对角线上的点的走法都是一样的且每n步一个轮重复

对于\(n != m\)我们找到最大公约数\(d\)，在每个\(d * d\)的方格里满足左上到右下的对角线点的走法一样且d轮一个重复

然后枚举\(dx\),\(dy = d - dx\)，我们要满足\(gcd(n,dx) == 1\)且\(gcd(m,dy) == 1\)这时是一个合法路径

显然有一些点是必须要经过的，我们把这些点遍历一遍，同时算出\(fir[i][j]\)表示向下走i和向右走j最早第几次走到障碍

然后我们进行一下dp，就是对于一个点\(i,j\)，要它恰好第k轮撞到障碍物的话，我们需要到达\((i,j)\)之前的点轮数都大于\(k\)，之后的点都大于等于\(k\)

然后对于每个\(fir[i][j] == k\)的点统计一下就好了

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
#define pdi pair<db,int>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define enter putchar('\n')
#define space putchar(' ')
#define MAXN 205
#define eps 1e-8
//#define ivorysi
using namespace std;
typedef long long int64;
typedef double db;
template<class T>
void read(T &res) {
    res = 0;char c = getchar();T f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {
	if(c == '-') f = -1;
	c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
	res = res * 10 + c - '0';
	c = getchar();
    }
    res *= f;
}
template<class T>
void out(T x) {
    if(x < 0) {x = -x;putchar('-');}
    if(x >= 10) {
	out(x / 10);
    }
    putchar('0' + x % 10);
}
const int MOD = 998244353;
int T,N,M,fir[55][55],f[55][55],g[55][55];
char s[55][55];
int inc(int a,int b) {
    return a + b >= MOD ? a + b - MOD : a + b;
}
int mul(int a,int b) {
    return 1LL * a * b % MOD;
}
int gcd(int a,int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b,a % b);
}
void Init() {
    read(N);read(M);
    for(int i = 0 ; i < N ; ++i) scanf("%s",s[i]);
}
void Solve() {
    int d = gcd(N,M);
    int ans = 0;
    for(int dx = 1 ; dx < d ; ++dx) {
	int dy = d - dx;
	if(gcd(N,dx) == 1 && gcd(M,dy) == 1) {
	    memset(fir,1,sizeof(fir));
	    int sx = 0,sy = 0,t = 1;
	    while(1) {
		for(int i = 0 ; i <= dx ; ++i) {
		    for(int j = 0 ; j <= dy ; ++j) {
			if(s[(sx + i) % N][(sy + j) % M] == '1') fir[i][j] = min(fir[i][j],t);
		    }
		}
		++t;
		sx = (sx + dx) % N;
		sy = (sy + dy) % M;
		if(sx == 0 && sy == 0) break;
	    }
	    for(int k = 1 ; k <= (N * M) / d ; ++k) {
		memset(f,0,sizeof(f));memset(g,0,sizeof(g));
		f[0][0] = 1;g[dx][dy] = 1;
		for(int i = 0 ; i <= dx ; ++i) {
		    for(int j = 0 ; j <= dy ; ++j) {
			if(i && fir[i - 1][j] > k) f[i][j] = inc(f[i][j],f[i - 1][j]);
			if(j && fir[i][j - 1] > k) f[i][j] = inc(f[i][j],f[i][j - 1]);
		    }
		}
		for(int i = dx ; i >= 0 ; --i) {
		    for(int j = dy ; j >= 0 ; --j) {
			if(i <= dx && fir[i + 1][j] >= k) g[i][j] = inc(g[i][j],g[i + 1][j]);
			if(j <= dy && fir[i][j + 1] >= k) g[i][j] = inc(g[i][j],g[i][j + 1]);
		    }
		}
		for(int i = 0 ; i <= dx ; ++i) {
		    for(int j = 0 ; j <= dy ; ++j) {
			if(i + j && fir[i][j] == k) {
			    ans = inc(ans,mul(mul(f[i][j],g[i][j]),i + j + (k - 1) * d));
			}
		    }
		}
	    }
	}
    }
    out(ans);enter;
}
int main() {
#ifdef ivorysi
    freopen("f1.in","r",stdin);
#endif
    read(T);
    while(T--) {
	Init();
	Solve();
    }
}