题意

每次从1,m中选一个数加入队列,假如队列的gcd==1停止,问队列长度的期望

题解

  • 概率正着推,期望反着推

    发现每加入一个数,gcd会变为原来gcd的因数

    • \(dp[x]\) - > \(dp[gcd(x,i)]\)
    • 但是方程却是反方向的
  • 图片

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define MOD 1000000007
#define MAXN 100005
#define ll long long
using namespace std;
ll m,inv,ans,dp[MAXN],i;
vector<int>G[MAXN];
int mu[MAXN],pr[MAXN],cnt,vi[MAXN];
ll pw(ll bs,ll x){
ll ans=1;
while(x){
if(x&1)ans=ans*bs%MOD;
bs=bs*bs%MOD;
x>>=1;
}
return ans;
} void get_mu(){
mu[1]=1;
for(int i=2;i<MAXN;i++){
if(!vi[i]){mu[i]=-1;pr[++cnt]=i;}
for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]*i<MAXN;j++){
vi[i*pr[j]]=1;
if(i%pr[j]==0)break;
mu[i*pr[j]]=-mu[i];
}
}
} void sol(){
dp[1]=0;
for(int i=2;i<=m;i++){
dp[i]=m;
for(int j=0;j<G[i].size();j++){
ll cnt=0,x=G[i][j];
if(x==i)continue;
for(int k=0;k<G[i/x].size();k++){
ll tp=G[i/x][k];
cnt+=mu[tp]*(m/x/tp)%MOD;cnt%=MOD;
cnt+=MOD;
cnt%=MOD;
}
dp[i]+=dp[x]*cnt%MOD;
dp[i]%=MOD;
}
dp[i]=dp[i]*pw((m-m/i)%MOD,MOD-2)%MOD;
}
}
int main(){
get_mu();
cin>>m;
inv=pw(m,MOD-2);
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=i;j<=m;j+=i)
G[j].push_back(i);
sol();
for(int i=1;i<=m;i++){
ans+=dp[i]%MOD;
ans%=MOD;
}
ans=ans*inv%MOD;
ans++;
cout<<ans%MOD;
}

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