Codeforces Round #548 (Div. 2) D 期望dp + 莫比乌斯反演

题意

每次从1,m中选一个数加入队列,假如队列的gcd==1停止,问队列长度的期望

题解

• 概率正着推,期望反着推

  发现每加入一个数,gcd会变为原来gcd的因数

  • \(dp[x]\) - > \(dp[gcd(x,i)]\)
  • 但是方程却是反方向的
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代码

#include<bits/stdc++.h>
#define MOD 1000000007
#define MAXN 100005
#define ll long long
using namespace std;
ll m,inv,ans,dp[MAXN],i;
vector<int>G[MAXN];
int mu[MAXN],pr[MAXN],cnt,vi[MAXN];
ll pw(ll bs,ll x){
	ll ans=1;
	while(x){
		if(x&1)ans=ans*bs%MOD;
		bs=bs*bs%MOD;
		x>>=1;
	}
	return ans;
}

void get_mu(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<MAXN;i++){
		if(!vi[i]){mu[i]=-1;pr[++cnt]=i;}
		for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]*i<MAXN;j++){
			vi[i*pr[j]]=1;
			if(i%pr[j]==0)break;
			mu[i*pr[j]]=-mu[i];
		}
	}
}

void sol(){
	dp[1]=0;
	for(int i=2;i<=m;i++){
		dp[i]=m;
		for(int j=0;j<G[i].size();j++){
			ll cnt=0,x=G[i][j];
			if(x==i)continue;
			for(int k=0;k<G[i/x].size();k++){
				ll tp=G[i/x][k];
				cnt+=mu[tp]*(m/x/tp)%MOD;cnt%=MOD;
				cnt+=MOD;
				cnt%=MOD;
			}
			dp[i]+=dp[x]*cnt%MOD;
			dp[i]%=MOD;
		}
		dp[i]=dp[i]*pw((m-m/i)%MOD,MOD-2)%MOD;
	}
}
int main(){
	get_mu();
	cin>>m;
	inv=pw(m,MOD-2);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=i;j<=m;j+=i)
			G[j].push_back(i);
    sol();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		ans+=dp[i]%MOD;
		ans%=MOD;
	}
	ans=ans*inv%MOD;
	ans++;
	cout<<ans%MOD;
}