Luogu P10496 The Luckiest Number 题解

P10496 The Luckiest Number

UPD：被叉了，原因是快速幂可能模数很大会爆 long long，改成 __int128 就好了。

考虑用一种比较方便表达的方式表示全是 \(8\) 的数字。我们发现，长度为 \(x\) 的全是 \(8\) 的数字可以表示为 \(\frac{10^x-1}{9}\times 8\)。

根据题目要求，这个数字是 \(L\) 的倍数，所以有下面式子：

\[L\mid\frac{10^x-1}{9}\times 8
\]

两边同时乘以 \(9\) 得到：

\[9L\mid8(10^x-1)
\]

这个式子可以继续化简，考虑到 \(\gcd(L,8)\) 一定整除 \(8(10^x-1)\)，我们考虑在左边除以 \(\gcd(L,8)\)，右边消去常数 \(8\)：

\[\frac{9L}{\gcd(L,8)}\mid10^x-1
\]

由于没有什么关于这种式子的算法，所以我们改变式子的形式，把它变成同余式：

\[10^x-1\equiv 0\pmod {\frac{9L}{\gcd(L,8)}}
\]

移项得：

\[10^x\equiv 1\pmod {\frac{9L}{\gcd(L,8)}}
\]

转化为了高次不定方程，直接使用 exBSGS 解决。注意这题需要求出的是最小正整数解，所以 exBSGS 返回的答案必须大于 \(0\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long t,a,p,x,y,now=0;
map<long long,long long>h;
long long gcd(long long a,long long b)
{
	if(b==0)return a;
	else return gcd(b,a%b);
}

long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
	if(b==0)
	   {
	   	x=1,y=0;
	   	return a;
	   }
	long long r=exgcd(b,a%b,x,y),d=x;
	x=y,y=d-a/b*y;
	return r;
}

long long power(long long a,long long p,long long mod)
{
	long long ans=1,x=a;
	while(p)
	   {
	   	if(p&1)ans=(__int128)ans*x%mod;
	   	p>>=1;
	   	x=(__int128)x*x%mod;
	   }
	return ans;
}

long long bsgs(long long a,long long b,long long mod)
{
	h.clear();
	long long t=sqrt(mod)+1,now=1,inc=power(a,t,mod);
	if(a==0)
	   {
	   	if(b==0)return 1;
	   	else return -1;
	   }
	for(int i=0;i<=t-1;i++)h[(__int128)now*b%mod]=i+1,now=(__int128)now*a%mod;
	now=1;
	for(int i=1;i<=t;i++)
	    {
	    now=(__int128)now*inc%mod;
		if(h.count(now)>0&&((__int128)i*t-h[now]+1))return (__int128)i*t-h[now]+1;
		}
	return -1;
}

long long exbsgs(long long a,long long b)
{
	long long d=gcd(a,p),cnt=0,sum=1,ans=0;
	a%=p,b%=p;
	if(a==0)
	   {
	   	if(b==0)return 1;
	   	else return -1;
	   }
	while(d!=1)
	   {
	   	if(b%d!=0)return -1;
	   	cnt++,p/=d,sum=(__int128)sum*(a/d)%p,b/=d;
	   	d=gcd(a,p);
	   	if(sum==b&&cnt!=0)return cnt;
	   }
	exgcd(sum%p,p,x,y);
	x=(x%p+p)%p;
	ans=bsgs(a,(__int128)x*b%p,p);
	if(ans==-1)return -1;
    else return ans+cnt;
}

int main()
{
	while(1)
	    {
	    	scanf("%lld",&a);
	    	if(a==0)break;
	    	p=9*a/gcd(a,8),now++;
	    	long long ans=exbsgs(10,1);
	    	if(ans==-1)printf("Case %lld: 0\n",now);
	    	else printf("Case %lld: %lld\n",now,ans);
		}
	return 0;
}