Atcoder ABC383E Sum of Max Matching 题解 [ 绿 ] [ 最小瓶颈路 ] [ 并查集 ] [ Kruskal 重构树 ]

Sum of Max Matching：简单贪心，但我场上没切，唐完了。

思路

显然，对于最大边权最小问题，首先想到最小瓶颈路的 trick：按边的大小排序，对原图进行加边。

同时可以发现，这个匹配有个很好的性质：某个点要么在 \(A\) 中，要么在 \(b\) 中，要么都不在。

我们把 \(A\) 中的点称作红点，把 \(B\) 中的点称作蓝点，显然一个点不可能既是红点也是蓝点。

那么我们考虑加边的合并操作，当两个连通块合并成一个连通块时，这两个连通块内部本质是缩成了一个点的，因此里面的蓝点和红点拿哪个来匹配本质上是一样的，同时因为边权从小到大枚举，一个连通块内只可能有同色点。

接下来就很好做了，合并的时候取两个连通块异色点的最大值，然后根据贪心，我们尽可能地多匹配就好了。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define lc (p<<1)
#define rc ((p<<1)|1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pi;
int n,m,k,tot[200005][2],f[200005];
ll ans=0,noww;
struct edge{
    int u,v,w;
}e[200005];
bool cmp(edge a,edge b)
{
    return a.w<b.w;
}
void init()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i,tot[i][0]=tot[i][1]=0;
}
int findf(int x)
{
    if(f[x]!=x)f[x]=findf(f[x]);
    return f[x];
}
void combine(int x,int y)
{
    int fx=findf(x),fy=findf(y);
    if(fx!=fy)
    {
        if(tot[fx][0]>0)
        {
            ll ad=min(tot[fx][0],tot[fy][1]);
            tot[fx][0]-=ad;
            tot[fy][1]-=ad;
            ans=ans+ad*noww;
        }
        else
        {
            ll ad=min(tot[fx][1],tot[fy][0]);
            tot[fx][1]-=ad;
            tot[fy][0]-=ad;
            ans=ans+ad*noww;
        }
        f[fx]=fy;
        tot[fy][0]+=tot[fx][0];
        tot[fy][1]+=tot[fx][1];
    }
}
int main()
{
    //freopen("sample.in","r",stdin);
    //freopen("sample.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n>>m>>k;
    init();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].w;
    }
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        int x;
        cin>>x;
        tot[x][0]++;
    }
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        int x;
        cin>>x;
        tot[x][1]++;
    }
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        noww=e[i].w;
        combine(e[i].u,e[i].v);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}