P5038 [SCOI2012]奇怪的游戏 二分+网络流

$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$

Blinker最近喜欢上一个奇怪的游戏。

这个游戏在一个 \(N \times M\) 的棋盘上玩，每个格子有一个数。每次\(Blinker\)会选择两个相邻的格子，并使这两个数都加上\(1\)。

现在\(Blinker\)想知道最少多少次能使棋盘上的数都变成同一个数，如果永远不能变成同一个数则输出\(-1\)。

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

输入的第一行是一个整数\(T\)，表示输入数据有T轮游戏组成。

每轮游戏的第一行有两个整数\(N\)和\(M\)， 分别代表棋盘的行数和列数。 接下来有\(N\)行，每行\(M\)个数。

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

对于每个游戏输出最少能使游戏结束的次数，如果永远不能变成同一个数则输出\(-1\)。

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

2
2 2
1 2
2 3
3 3
1 2 3
2 3 4
4 3 2

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

2
-1

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

对于\(30%\)的数据，保证\(T<=10,1<=N,M<=8\)

对于\(100%\)的数据，保证 \(T<=10,1<=N,M<=40\)，所有数为正整数且小于\(1000000000\)

\(\color{#0066ff}{题解}\)

对于这种方格图，而且还是相邻的数操作，显然可以考虑黑白染色！

可以发现，每次操作只会同时修改两个颜色不同的位置（显然。。。）

既然最后所有的数相同，不妨假设那个数是x，那么再结合黑白染色，可以得出一个式子（有解的情况下）

\(黑点数量*x-黑点权值和=白点数量*x-白点权值和\)，其实就是操作次数相同的等式

观察一下这个式子。。。嗯？？？？xTM能解出来我去，不会就这样水了吧。。。

当然不会，x能解出来当且仅当黑白点数量不同（除数不为0），这样我们就能特判一下得到x

当然x可能不合法，要判一下，判断的方法下面会说

那么接下来就是黑白点相同的情况了

根据上面的式子，这时候如果两个权值和不等，那显然无解

那如果相等呢？？如何求解x？

考虑二分答案，但是我们要判断有没有单调性

显然当前的图肯定是一个有偶数点个数的图，如果当前x成立，显然由于图是偶数个点，x+1一定是成立的

反之同理，于是这是有单调性的

然后，二分完x，我们如何判断x是否合法（都黑白染色了当然是网络流）

起点向每个白点连x-权值的边，代表需要几次操作，中间连inf的边，右边同理

当前方案合法当且仅当最大流可以满足所有点， 这也是上面判断x是否合法的方式

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL read() {
	char ch; LL x = 0, f = 1;
	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
	return x * f;
}
template<class T> bool chkmax(T &a, const T &b) { return a < b? a = b, 1 : 0; }
template<class T> bool chkmin(T &a, const T &b) { return b < a? a = b, 1 : 0; }
const int maxn = 5e5 + 10;
const LL inf = 9999999999999LL;
struct node {
	LL to, can;
	node *nxt, *rev;
	node(LL to = 0, LL can = 0, node *nxt = NULL): to(to), can(can), nxt(nxt) { rev = NULL; }
}pool[maxn], *tail, *head[maxn], *cur[maxn];
int dep[maxn], n, m, s, t, mp[66][66];
int rx[] = {1, -1, 0, 0};
int ry[] = {0, 0, 1, -1};
void add(int from, int to, LL can) { head[from] = new(tail++) node(to, can, head[from]); }
void link(int from, int to, LL can) {
	add(from, to, can), add(to, from, 0LL);
	head[from]->rev = head[to]; head[to]->rev = head[from];
}
bool bfs() {
	for(int i = s; i <= t; i++) dep[i] = 0, cur[i] = head[i];
	std::queue<int> q;
	q.push(s); dep[s] = 1;
	while(!q.empty()) {
		int tp = q.front(); q.pop();
		for(node *i = head[tp]; i; i = i->nxt)
			if(!dep[i->to] && i->can)
				dep[i->to] = dep[tp] + 1, q.push(i->to);
	}
	return dep[t];
}
LL dfs(int x, LL change) {
	if(x == t || !change) return change;
	LL flow = 0, ls;
	for(node *&i = cur[x]; i; i = i->nxt)
		if(dep[i->to] == dep[x] + 1 && (ls = dfs(i->to, std::min(i->can, change)))) {
			flow += ls;
			change -= ls;
			i->can -= ls;
			i->rev->can += ls;
			if(!change) break;
		}
	return flow;
}
LL dinic() {
	LL flow = 0;
	while(bfs()) flow += dfs(s, inf);
	return flow;
}
int id(int x, int y) { return (x - 1) * m + y; }
bool ok(LL mid) {
	tail = pool;
	s = 0, t = n * m + 1;
	for(int i = s; i <= t; i++) head[i] = NULL;
	LL now = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++) {
			if((i + j) & 1) {
				now += mid - mp[i][j], link(s, id(i, j), mid - mp[i][j]);
				for(int k = 0; k < 4; k++) {
					int xx = i + rx[k];
					int yy = j + ry[k];
					if(xx >= 1 && xx <= n && yy >= 1 && yy <= m) link(id(i, j), id(xx, yy), inf);
				}
			}
			else link(id(i, j), t, mid - mp[i][j]);
		}
	return now == dinic();
}

int main() {
	for(int T = read(); T --> 0;) {
		n = read(), m = read();
		int maxval = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			for(int j = 1; j <= m; j++)
				chkmax(maxval, mp[i][j] = read());
		LL tot0 = 0, tot1 = 0, num0 = 0, num1 = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			for(int j = 1; j <= m; j++) {
				if((i + j) & 1) num1++, tot1 += mp[i][j];
				else num0++, tot0 += mp[i][j];
			}
		if(num0 ^ num1) {
			LL endval = (tot0 - tot1) / (num0 - num1);
			if(endval >= maxval && ok(endval)) printf("%lld\n", endval * num1 - tot1);
			else puts("-1");
		}
		else {
			if(tot0 ^ tot1) puts("-1");
			else {
				LL l = maxval, r = inf >> 1, ans = r;
				while(l <= r) {
					LL mid = (l + r) >> 1;
					if(ok(mid)) ans = mid, r = mid - 1;
					else l = mid + 1;
				}
				printf("%lld\n", ans == inf >> 1? -1 : ans * num1 - tot1);
			}
		}
	}
	return 0;
}