【位运算】剑指offer 56. 数组中数字出现的次数

这是一系列位运算的题目，本文将由浅入深，先从最简单的问题开始：

问题1：

一个数组中只有一个数字出现过1次，其余数字都出现过两次，请找到那个只出现1次的数字。要求时间复杂度是 \(O(n)\)，空间复杂度是 \(O(1)\)。

解法：

考虑到位运算中的异或运算，一个数字和它自己做异或，结果为0。所以只需要遍历整个数组，挨个异或，最后得到的结果就是那个只出现1次的数字。

class Solution {
public:
    vector<int> singleNumbers(vector<int>& nums) {
        int res = 0;
        for (auto num : nums) {
            res ^= num;
        }
        return res;
    }
};

问题2：

一个整型数组 nums 里除两个数字之外，其他数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字。要求时间复杂度是 \(O(n)\)，空间复杂度是 \(O(1)\)。

解法：

与问题 1 的区别在于，这个问题中有两个出现次数为 1 的数字。可以将数组分成两个子数组，每个子数组中各含一个只出现 1 次的数字。具体做法为：

• 对所有数字求异或，得到的结果即为 res
• 保留 res 中的一个为 1 的数位，其余数位都变成 0，可以用 res & -res 保留最低位的 1，记为 div
• 将数组中的每个数字和 div 做异或，按照结果为0或1分成2组，这样相同的数字都会被分到同一组，而那两个只出现 1 次的数字会被分到不同的组
• 按组再做异或，同问题1，得到答案。

实际操作中不需要真正分组，只需要用两个变量 a 和 b 记录两个组的异或值即可。

class Solution {
public:
    vector<int> singleNumbers(vector<int>& nums) {
        int res = 0;
        for (auto num : nums) {
            res ^= num;
        }
        int a = 0, b = 0;
        int div = res & -res;
        for (auto num : nums) {
            if (div & num) {
                a ^= num;
            } else {
                b ^= num;
            }
        }
        return {a, b};
    }
};

问题3：

在一个数组 nums 中除一个数字只出现一次之外，其他数字都出现了三次。请找出那个只出现一次的数字。

解法：

参考：K神的题解

如下图所示，考虑数字的二进制形式，对于出现三次的数字，各二进制位 出现的次数都是 3 的倍数。因此，统计所有数字的各二进制位中 1 的出现次数，并对 3 求余，结果则为只出现一次的数字。

class Solution {
public:
    int singleNumber(vector<int>& nums) {
        vector<int> digit(32);	// 记录所有数字每个数位上1出现的次数之和
        for (auto num : nums) {	// 遍历每个数字
            for (int i = 0; i < 32; i++) {	// 遍历每个数位
                digit[i] += num & 1;	// num & 1 得到该数位是否为1
                num >>= 1;	// 获得下一个数位
            }
        }
        int ans = 0, m = 3;
        for (int i = 31; i >= 0; i--) {
            //倒着遍历digigt数组，因为高数位在大下标位置
            ans <<= 1;	// ans左移1位
            ans |= digit[31 - i] % m;	// 每个数位对m取余后再和ans做或运算
        }
        return ans;
    }
};

上面的代码只需要修改求余数值 \(m\) ，即可实现解决除了一个数字之外，其余数字都出现 \(m\) 次的通用问题。