从暴力匹配到KMP算法

前言

现在有两个字符串：\(s1\)和\(s2\)，现在要你输出\(s2\)在\(s1\)当中每一次出现的位置，你会怎么做？

暴力匹配算法

基本思路

用两个指针分别指向当前匹配到的位置，并对当前状态进行分类讨论：若相同则继续往下匹配，否则回溯

大致思路

用\(i\)来存储\(s1\)当前匹配到的位置，用\(j\)来存储\(s2\)当前匹配到的位置，则可得初始状态下\(i=j=0\)。

对于当前状态，有两种可能性：

①：\(s1[i]==s2[j]\)。则\(i++,j++\)

②：\(s1[i]!=s2[j]\)。则\(i-=(j-1),j=0\)

评价

时间复杂度：\(O(nm)\)。显然，这个方法效率并不高，每一次回溯要耗去大量时间，能不能进行优化呢？

\(KMP\)算法

简介

\(KMP\)算法是对暴力匹配算法的改进，由\(D.E.Knuth\)，\(J.H.Morris\)和\(V.R.Pratt\)同时发现，因此人们称它为\(Knuth-Morris-Pratt\)算法（简称\(KMP\)算法）。

基本思路

\(KMP\)算法的关键是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是实现一个\(Next\)函数，函数本身包含了模式串的局部匹配信息。

大致思路

还是用\(i\)来存储\(s1\)当前匹配到的位置，用j来存储\(s2\)当前匹配到的位置，则可得初始状态下\(i=j=0\)

对于当前状态，有两种可能性：

①：\(s1[i]==s2[j]\)。则\(i++,j++\)

②：\(s1[i]!=s2[j]\)。则\(j=Next[j]\)（i不变）

其中\(Next\)数组存储的是当前这一位的部分匹配值（这在后面会详细介绍），所以只要让\(j\)变成\(Next[j]\)，就可以继续对当前字符串进行匹配了，省去了i回溯所耗去的大量时间

\(Next\)数组

在匹配过程中，你可以发现一个基本事实是：当\(s1[i]\)与\(s2[j]\)不匹配时，你其实知道前面\(j-1\)字符是什么。

\(KMP\)算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把"搜索位置"移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。

所以，我们就可以把当前所得到的部分匹配值给求出来。又由于对于同一个字符串，部分匹配值是固定不变的，所以可以把它存在\(Next\)数组里。

那么\(Next\)数组怎么求呢？

记得某大佬说过这样一句话：

\(Excerpt\)

求\(Next\)数组的过程就是一个\(KMP\)的过程。

首先，令\(i=0\)，\(j=-1\)，\(Next[0]=-1\)，且当前要求的是\(Next[i+1]\)。则对于当前状态，有两种可能性：

①\(j==-1\)或\(s2[i]==s2[j]\)。则\(i++,j++,Next[i]=j\)

②\(j!=-1\)且\(s2[i]!=s2[j]\)。则\(j=Next[j]\)//把\(j\)赋值为\(j\)的部分匹配值

这样就可以轻松求出\(Next\)数组了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000000
#define pc(ch) (pp_<100000?pp[pp_++]=ch:(fwrite(pp,1,100000,stdout),pp[(pp_=0)++]=ch))
int pp_=0;char pp[100000];
using namespace std;
int len1,len2,Next[N+5];//len1存储s1的长度，len2存储s2的长度，这样不用调用strlen()，strlen()会超时；Next[]存储部分匹配值
char s1[N+5],s2[N+5];
inline void write(int x)
{
    if(x>9) write(x/10);
    pc(x%10+'0');
}
inline void GetNext()//求出Next[]数组
{
	register int i=0,j=Next[0]=-1;//初始化
	while(i<=len2)//类似于一个KMP的过程
	{
		if(j==-1||s2[i]==s2[j]) i++,j++,Next[i]=j;
		else j=Next[j];
	}
}
int main()
{
	register int i=0,j=0;
	scanf("%s%s",s1,s2),len1=strlen(s1),len2=strlen(s2),GetNext();
	while(i<=len1)//KMP的过程
	{
		if(j==-1||s1[i]==s2[j]) {++i;if(++j==len2) write(i-len2+1),pc('\n'),j=Next[j];/*如果找到答案就输出*/}
		else j=Next[j];//如果匹配失败，就更新j为其部分匹配值
	}
	for(i=1;i<=len2;++i) write(Next[i]),pc(' ');//依照题意输出Next[]数组
	return fwrite(pp,1,pp_,stdout),0;
}