从暴力匹配到KMP算法

前言

现在有两个字符串：$s1$和$s2$，现在要你输出$s2$在$s1$当中每一次出现的位置，你会怎么做？

暴力匹配算法

基本思路

用两个指针分别指向当前匹配到的位置，并对当前状态进行分类讨论：若相同则继续往下匹配，否则回溯

大致思路

用$i$来存储$s1$当前匹配到的位置，用$j$来存储$s2$当前匹配到的位置，则可得初始状态下$i=j=0$。

对于当前状态，有两种可能性：

①：$s1[i]==s2[j]$。则$i++,j++$

②：$s1[i]!=s2[j]$。则$i-=(j-1),j=0$

评价

时间复杂度：$O(nm)$。显然，这个方法效率并不高，每一次回溯要耗去大量时间，能不能进行优化呢？

$KMP$算法

简介

$KMP$算法是对暴力匹配算法的改进，由$D.E.Knuth$，$J.H.Morris$和$V.R.Pratt$同时发现，因此人们称它为$Knuth-Morris-Pratt$算法（简称$KMP$算法）。

基本思路

$KMP$算法的关键是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是实现一个$Next$函数，函数本身包含了模式串的局部匹配信息。

大致思路

还是用$i$来存储$s1$当前匹配到的位置，用j来存储$s2$当前匹配到的位置，则可得初始状态下$i=j=0$

对于当前状态，有两种可能性：

①：$s1[i]==s2[j]$。则$i++,j++$

②：$s1[i]!=s2[j]$。则$j=Next[j]$（i不变）

其中$Next$数组存储的是当前这一位的部分匹配值（这在后面会详细介绍），所以只要让$j$变成$Next[j]$，就可以继续对当前字符串进行匹配了，省去了i回溯所耗去的大量时间

$Next$数组

在匹配过程中，你可以发现一个基本事实是：当$s1[i]$与$s2[j]$不匹配时，你其实知道前面$j-1$字符是什么。

$KMP$算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把"搜索位置"移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。

所以，我们就可以把当前所得到的部分匹配值给求出来。又由于对于同一个字符串，部分匹配值是固定不变的，所以可以把它存在$Next$数组里。

那么$Next$数组怎么求呢？

记得某大佬说过这样一句话：

$Excerpt$

求$Next$数组的过程就是一个$KMP$的过程。

首先，令$i=0$，$j=-1$，$Next[0]=-1$，且当前要求的是$Next[i+1]$。则对于当前状态，有两种可能性：

①$j==-1$或$s2[i]==s2[j]$。则$i++,j++,Next[i]=j$

②$j!=-1$且$s2[i]!=s2[j]$。则$j=Next[j]$//把$j$赋值为$j$的部分匹配值

这样就可以轻松求出$Next$数组了。

代码

#include<bits/stdc++.h>

#define N 1000000

#define pc(ch) (pp_<100000?pp[pp_++]=ch:(fwrite(pp,1,100000,stdout),pp[(pp_=0)++]=ch))

int pp_=0;char pp[100000];

using namespace std;

int len1,len2,Next[N+5];//len1存储s1的长度，len2存储s2的长度，这样不用调用strlen()，strlen()会超时；Next[]存储部分匹配值

char s1[N+5],s2[N+5];

inline void write(int x)

{

    if(x>9) write(x/10);

    pc(x%10+'0');

}

inline void GetNext()//求出Next[]数组

{

	register int i=0,j=Next[0]=-1;//初始化

	while(i<=len2)//类似于一个KMP的过程

	{

		if(j==-1||s2[i]==s2[j]) i++,j++,Next[i]=j;

		else j=Next[j];

	}

}

int main()

{

	register int i=0,j=0;

	scanf("%s%s",s1,s2),len1=strlen(s1),len2=strlen(s2),GetNext();

	while(i<=len1)//KMP的过程

	{

		if(j==-1||s1[i]==s2[j]) {++i;if(++j==len2) write(i-len2+1),pc('\n'),j=Next[j];/*如果找到答案就输出*/}

		else j=Next[j];//如果匹配失败，就更新j为其部分匹配值

	}

	for(i=1;i<=len2;++i) write(Next[i]),pc(' ');//依照题意输出Next[]数组

	return fwrite(pp,1,pp_,stdout),0;

}