浅谈Huffman树

所谓Huffman树，就是叶子结点带权的\(K\)叉树，假设每个叶子的权值为\(v\)，到根的距离为\(dep\)，那么最小化\(\sum v_i*dep_i\)就是\(Huffman\)树的拿手好戏。

为了最小化这个值，显然我们应该尽量让权值大的叶子深度浅，合并果子就是一个典型\(2\)叉\(Huffman\)树问题。

那么对于\(k\)叉\(Huffman\)树呢？

我们以\(3\)叉\(Huffman\)树为例，有这么\(6\)个数：\(1,2,3,5,8,9\)

按照合并果子这题的思路，我们应该先花\(6\)体力合并\(1,2,3\)，新序列为：\(6,5,8,9\)

然后花\(19\)体力合并\(5,6,8\)，新序列为：\(19,9\)

最后花\(28\)体力合并\(19,9\)，新序列是\(28\)，一共用的体力为\(53\)

但是我们换一种方式合并：

\(1,2,3,5,8,9\)

\(3,3,5,8,9\)

\(11,8,9\)

\(28\)

一共用了\(42\)体力。

那么问题就出现了，显然对于\(2\)叉\(Huffman\)树的贪心策略不再适用于\(k\)叉\(Huffman\)树。

但是，是真的不适用么？

仔细考虑上面两个例子，在用了\(53\)体力的例子里，我们最后一步合并了\(19,9\)，但其实我们还可以假设有一个权值为\(0\)的点在这一步被合并了。

但在用了\(42\)体力的例子里，我们第一步就把权值\(0\)给安排了。

所以对于\(2\)叉\(Huffman\)树的贪心策略还是有用的，不过我们忽视了权值为\(0\)的结点。因为\(2\)叉\(Huffman\)树怎么建都不会存在某一步被合并的结点少于\(2\)，但是\(k\)叉\(Huffman\)树不一样，它必须满足\((n-1)mod(k-1)=0\)才会每一步合并的结点都不少于\(k\)。因为每次合并都会减少\(k-1\)个结点，一共会减少\(n-1\)个结点。如果不满足上述等式，我们只需要不断添加权值为\(0\)的结点直到它满足为止即可。

关于\(k\)叉\(Huffman\)树的建立，也可以按照合并果子一样用堆辅助即可。