51nod 80分算法题

1537：见前几篇。

1627：题意：给定n，m的网格（10^5），初始状态为（1,1），你每次可以瞬移到右下方（不可以同行同列逗留）任何一个方格里，求移动到n，m的方案数。

一句话题解：首先很容易想到n^2的DP，不过实际上没必要，我们枚举走了几步，然后插板法看n和m分别分解为i个数的方案数，乘起来就好，也就是求这个式子（默认n小于m）

$ \sum\limits_{i = 1}^n {\left( \begin{array}{l}n - 1\\i - 1\end{array} \right)} \left( \begin{array}{l}m - 1\\i - 1\end{array} \right) $
1678：题意：给定一个序列（10^5），给定两个操作：单点修改和查询。查询时给定一个i，求出所有与i互质的下标对应的值的总和。

题解：正难则反，我们可以考虑求出不互质的总和，然后取补集，把每个数的值统计到自己的因子上，修改的时候改就可以了，查询的时候容斥一下，考虑到最多只有6 个不同的质因子，2^6完全可以接受。

1711：题意：给定序列（10^５），求出所有区间平均数中第ｋ大的平均数。

题解：二分答案，然后统计有多少个区间满足，统计方法是：我们知道一个区间的平均数可以表示为  $ \frac{{sum[i] - sum[j]}}{{i - j}} $

我们要统计多少个i,j（j<i）满足  $ \frac{{sum[i] - sum[j]}}{{i - j}} \ge mid $

变形一下  $ sum[i] - mid * i \ge sum[j] - mid * j $

也就是每个位置都有一个值sum[i]-i*mid，把这个东西离散化之后我们实际上要求的就是逆序对个数，这个可以树状数组。

总复杂度O（nlognlogn）

1836：题意：m天n个东西，每天等概率选一个东西，求m天后个数期望。

题解：不知道说什么了。。简单dp

1766：传送门

1616：题意：给定n个数，他们属于一个集合，集合的性质为：若X,Y属于集合，那么gcd（X,Y）也属于这个集合。求集合最小个数。值域范围1e6

题解：对于每一个数我们求出对应的fi，fi定义为有多少个该数的倍数存在于集合当中。那么对于一个数，如果它的倍数中没有fi与自己的fi相等，说明这个数一定存在于集合中。统计出来即可。复杂度O（nln n）。

1476：题意：给定一个括号序列，其中有“？“”作为通配符，但是重定位会付出相应的代价，求最小代价使得序列合法。

题解：首先n^2dp很好想。但是可以更优。先强行把所有通配符定位成右括弧，然后左括弧为+1，右括弧为-1，算前缀和记为S，当前缀和为负数时，我们在前面的通配符中找一个代价最小的变为左括弧，同时S+=2。找最小可以用优先队列来实现。复杂度O（nlogn）。

1586：题意：有3个数组，a,b,c，a给定，b由a计算，c由b计算，计算规则为：某个下标的值为所有下标为其因数的数相加。有修改操作和查询操作，修改随机。范围1e5。

题解：既然是数据随机那么完全就可以乱搞了。。不赘述了

1463：题意：给定两个长度为n的数列A 、B，一个有m个元素的集合K，询问Q次，每次询问[l,r]，输出区间内满足|Bi-Bj|∈K 的最大Ai+Aj

数据约定：n,Q<=100000，m <= 10，0<=A[i]<=1000000000，1<=B[i]<=n，1<=K[i]<=n，保证B[i]互不相等。

题解：考虑离线，将区间排序后依次处理。我们每个位置维护一个fi，表示以这个位置开头，以当前处理位置结尾的这个区间内的答案。每当加入一个数后，枚举集合里的差值，去找对应的数，如果满足要求就区间更新fi，对于询问区间查询最大值就可以了。

1540：傻逼贪心，懒得写了。。

1610：传送门

1040：传送门

1020：基础dp。

1028：fft板子。

1259：插板法。

1225：传送门

1262：题意描述不是很清楚，总之就是求一个欧拉函数。

1189：传送门

1158：先预处理出每个位置往右最长能连续多少，然后对于每一列维护一个单调递增的单调栈。复杂度O(n^2)。

1500：题意：给定一棵树（10^5），点被黑白染色。要求将树划分成若干个部分使得每个部分恰好有一个黑点，求划分方案数。

题解：典型树dp，定义状态dp[i][0/1]表示以这个点为根的子树目前没有被切掉的部分是否有黑色，然后转移就好了。时间复杂度O（n）。

1622：傻逼快速幂，不知道这题为什么会在5级算法里。。、

1530：题意：给定m个方块，现在A和B要拆方块，满足的条件为不能破坏稳定结构。每个方块有编号，按照拆的顺序将编号排序形成一个m进制数，A和B轮流拆，但A要最大化最后的数，B要最小化，求输出这个最终的数。

题解：拆卸关系其实是个拓扑图，按着关系贪心拆就好了，随便拿个集合搞搞就可以了。

1533：传送门

1593：题意：给定一个环，每个点之间有距离，每个点有权值，给定询问，每次给定一个区间，求出区间中最大子段和，最大子段和定义为2（hi+hj）+dis(i,j)最大，其中h为点权，dis为距离。

题解：断环成链，搞一棵线段树，维护最大区间子段和，最大前缀和，最大后缀和即可。

1140：题意：给定3个N*N的矩阵A,B,C，判断A*B==C？

题解：老实做的话会超时。我们多构建几个1*N的随机矩阵，然后拿去乘，再看是否相等就好了。这样复杂度降为O（N^2）。

1492：题意：给定一个数轴区间，从里面你可以选择不多于k个不同的数，求出一种方案使得取出来的异或和最小。

题解：这题就是个讨论题。其他情况都很简单，只剩下k=3能不能凑出0的情况了。首先，最高位肯定要有两个1，然后我们看第二位。

情况1:11|10|01 这说明只要区间里有形如[01....,11....]的就可以。情况2：11|11|00 这说明要[00....,11....]。所以我们只要满足情况一就好了。

其他情况不再赘述。

1128：二分板子。。

1120：一个卡特兰数。。要用Lucas。

1125：贪心。要么拿所有不在目标位置中最小的那个机器依次换，要么找所有机器最小的那个依次换最后换回去。

1513：传送门

1668：简单dp加矩阵快速幂优化。。

1495：双指针搞搞就好了。。还以为时间卡这么紧是要干嘛呢。。

1525：传送门

1196：传送门

1613：传送门

1451：题意：给定2000个点，求有多少个组点可以围成面积不为0的三角形。

题解：枚举每个点作为原点，其他点按照斜率排序就可把共线的问题解决了。统计答案后/3就是最终答案了。

1394：离散化加树状数组。

1403：差分一下就好了。

1681：传送门

1452：贪心，所以括号只会在*旁边，而*只有15个，随便瞎搞就好了。

1437：单调队列，其实就是滑动窗口。

1354：简单背包。用map优化下状态。

1429：首先，长宽独立，所以分别考虑，问题等价于给两个数，可以分别操作，求最小操作次数使得两者相等。

然后，我们约掉gcd后质因数分解。此时一定只能有2、3，不然无解。然后就加加减减就好了。

1425：记忆化搜索。对于一个数，我们分成两次搜索：？0000...和0????...。

1376：树dp+贪心。从叶子往上走，能不放就不放，实在不行放一个。具体的就是dp[i]表示i节点能向上管辖的范围。如果为负并且子树里的最大值也救不了就说明需要额外派人来管。root为负需要多加一个。

1424：简单树dp。

1421：感觉自己智商被压制了。。

首先暴力n^2肯定T。我一直想的值大的那个去找小的。为什么思路不能反过来。。。

考虑小的找大的。那大的肯定是越靠近小的倍数越好了。所以这么枚举复杂度就是O（nlognlogn）。

1346：被坑了。。也怪自己不喜欢动笔。。

a[i][j]=a[i-1][j]^a[i][j-1]=a[i-2][j]^a[i-1][j-1]^a[i-1][j-1]^a[i][j-2]=a[i-2][j-2]

那么a[i][j]=a[i-131072][j-131072]。然后就是记忆化搜索。

我好傻逼啊！!!

1431：可以，这很有规律。最近几道题我感觉我想疯狂骂自己，你个傻逼！

考虑下标加上权值不变。所以排序之后检验就好了。

1349：离线+单调栈。