Codeforces 922F Divisibility （构造 + 数论）

题目链接  Divisibility

题意 给定$n$和$k$，构造一个集合$\left\{1, 2, 3, ..., n \right\}$的子集，使得在这个集合中恰好有$k$对正整数$(x, y)$, $x < y$

　　 满足$x$是$y$的约数。

选定$1$和$2$，

首先把满足 $x > [\frac{n}{2}]\ $的质数$x$留出来，

然后把满足 $ [\frac{n}{3}]\  < x <=  [\frac{n}{2}]\ $的质数，以及他们的两倍留出来，

 

留出来的这些数先不选，从$3$开始一个个开始选。

 

接近$k$的时候开始选刚刚留出来的那些数,

 

先选满足 $x > [\frac{n}{2}]\ $的质数，满足题意的正整数对数加$1$，

 

再选满足 $ [\frac{n}{3}]\  < x <=  [\frac{n}{2}]\ $的质数的两倍，满足题意的正整数对数加$2$，

 

最后选满足 $ [\frac{n}{3}]\  < x <=  [\frac{n}{2}]\ $的质数，满足题意的正整数对数加$2$。

 

选完这些如果还是到不了$k$，那么无解。

 

本来想着$n$小的时候直接特判（$O(2^{n})$暴力）的，但是把特判去掉交上去居然也通过了……

 

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define rep(i, a, b)	for (int i(a); i <= (b); ++i)
#define dec(i, a, b)	for (int i(a); i >= (b); --i)

const int N = 3e5 + 10;

int a[N], b[N], c[N], f[N];
int n, k, num1 = 0, num2 = 0;
vector <int> c1, c21, c22;
vector <int> ans;

void print(){
	puts("Yes");
	sort(ans.begin(), ans.end());
	int sz = ans.size();

	printf("%d\n", sz);
	int fg = 0;
	for (auto u : ans){
		if (!fg) fg = 1;
		else putchar(32);
		printf("%d", u);
	}

	putchar(10);
	exit(0);
}

void calc(){
	int x1 = c1.size(), x21 = c21.size(), x22 = c22.size();
	if (k & 1){
		if (num1 == 0){ puts("No"); exit(0);}

		while (k >= 3 && x22 > 0){
			k -= 2;
			--x22;
			ans.push_back(c22[x22]);
			c22.pop_back();
		}

		while (k >= 3 && x21 > 0){
			k -= 2;
			--x21;
			ans.push_back(c21[x21]);
			c21.pop_back();
		}

		while (k > 0 && x1 > 0){
			k--;
			--x1;
			ans.push_back(c1[x1]);
			c1.pop_back();
		}

		if (k > 0){ puts("No"); exit(0); }
		print();
	}

	else{
		while (k >= 2 && x22 > 0){
			k -= 2;
			--x22;
			ans.push_back(c22[x22]);
			c22.pop_back();
		}

		while (k >= 2 && x21 > 0){
			k -= 2;
			--x21;
			ans.push_back(c21[x21]);
			c21.pop_back();
		}

		while (k > 0 && x1 > 0){
			k--;
			--x1;
			ans.push_back(c1[x1]);
			c1.pop_back();
		}

		if (k > 0){ puts("No"); exit(0);}
		print();
	}
}

int main(){

	scanf("%d%d", &n, &k);

	rep(i, 2, 3e5 + 1){
		if (!b[i]){
			for (int j = i + i; j <= 3e5 + 1; j += i)
				b[j] = 1;
		}
	}

	rep(i, 1, 3e5 + 1){
		for (int j = i; j <= 3e5 + 1; j += i) ++f[j];
		--f[i];
	}

	c[1] = 1, c[2] = 1;
	rep(i, n / 2 + 1, n) if (!b[i]){
		if (i <= 2) continue;
		c[i] = 1;
		c1.push_back(i);
		++num1;
	}

	rep(i, n / 3 + 1, n / 2) if (!b[i]){
		if (i <= 2) continue;
		c[i] = 1;
		c[i << 1] = 1;
		c21.push_back(i);
		c22.push_back(i * 2);
		++num2;
	}

	--k;
	ans.push_back(1);
	ans.push_back(2);
	if (k == 0) print();

	rep(i, 3, n){
		if (c[i]) continue;
		if (k >= f[i]){
			k -= f[i];
			ans.push_back(i);
		}
		else calc();
	}

	calc();
	return 0;
}