【bzoj4197】[Noi2015]寿司晚宴 分解质因数+状态压缩dp

题目描述

为了庆祝 NOI 的成功开幕，主办方为大家准备了一场寿司晚宴。小 G 和小 W 作为参加 NOI 的选手，也被邀请参加了寿司晚宴。

在晚宴上,主办方为大家提供了 n−1 种不同的寿司，编号 1,2,3,…,n−1，其中第 i 种寿司的美味度为 i+1 （即寿司的美味度为从 2 到 n）。

现在小 G 和小 W 希望每人选一些寿司种类来品尝，他们规定一种品尝方案为不和谐的当且仅当：小 G 品尝的寿司种类中存在一种美味度为 x 的寿司，小 W 品尝的寿司中存在一种美味度为 y 的寿司，而 x 与 y 不互质。

现在小 G 和小 W 希望统计一共有多少种和谐的品尝寿司的方案（对给定的正整数 p 取模）。注意一个人可以不吃任何寿司。

输入

输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,p，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种寿司，最终和谐的方案数要对 p 取模。

输出

输出一行包含 1 个整数，表示所求的方案模 p 的结果。

样例输入

3 10000

样例输出

9

---

题解

分解质因数+状态压缩dp

对于这种题肯定想到使用状压dp来解决，即设f[v1][v2]表示甲选质数的状态为v1，乙选质数的状态为v2的方案数。

但是这样状态数会爆炸。

考虑：大于$\sqrt{500}$的质数在某数中最多只会出现一次，而小于等于$\sqrt{500}$的质数只有8个。

所以我们只需要记录8个小质数的状态，对于大质数单独处理。

对于每个2~n的数，把它们分解质因数，并记录它们包含小质数的状态和包含的大质数（没有则为0）。

然后把每个数按照大质数的大小排序，这样每个大质数出现的位置是一段连续的区间。

对于每个大质数对应的区间，设$g[i][j]$表示乙不选这个大质数，甲、乙状态分别为i、j的方案数；$h[i][j]$表示甲不选这个大质数，甲、乙状态分别为i、j的方案数。

那么初始$g[i][j]=h[i][j]=f[i][j]$，转移时$g[i|v][j]+=g[i][j]\ \ (v\&j=0)$，h同理。

更新完g和h后更新f为$f[i][j]=g[i][j]+h[i][j]-f[i][j]$，因为两者都不选的情况算了2次。

对于不包含大质数的数，拿出来单独处理即可。

注意一下循环顺序，不要重复更新，必要时可以记录原状态（不包含大质数的数的处理方法中，f数组可能在使用前已经更新，所以这里再使用g数组记录原来的f）

时间复杂度$O(500·2^{16})$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 520
using namespace std;
const int pos[] = {0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 2 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 4 , 0 , 5 , 0 , 0 , 0 , 6 , 0 , 7};
struct data
{
	int val , mp;
	bool operator<(const data a)const {return mp > a.mp;}
}a[N];
int f[N][N] , g[N][N] , h[N][N];
int main()
{
	int n , p , i , j , k , l , last , t , ans = 0;
	scanf("%d%d" , &n , &p);
	for(i = 2 ; i <= n ; i ++ )
	{
		for(j = 2 , t = i ; j * j <= t ; j ++ )
		{
			if(t % j == 0)
			{
				a[i - 1].val |= (1 << pos[j]);
				while(t % j == 0) t /= j;
			}
		}
		if(t > 1)
		{
			if(t > 19) a[i - 1].mp = t;
			else a[i - 1].val |= (1 << pos[t]);
		}
	}
	sort(a + 1 , a + n);
	f[0][0] = 1;
	for(i = last = 1 ; i < n ; i = last + 1)
	{
		if(a[i].mp)
		{
			while(last < n - 1 && a[last + 1].mp == a[i].mp) last ++ ;
			for(j = 0 ; j < 256 ; j ++ )
				for(k = 0 ; k < 256 ; k ++ )
					g[j][k] = h[j][k] = f[j][k];
			for(j = i ; j <= last ; j ++ )
				for(k = 255 ; ~k ; k -- )
					for(l = 255 ; ~l ; l -- )
						if(!(k & l) && !(a[j].val & l))
							g[k | a[j].val][l] = (g[k | a[j].val][l] + g[k][l]) % p , h[l][k | a[j].val] = (h[l][k | a[j].val] + h[l][k]) % p;
			for(j = 0 ; j < 256 ; j ++ )
				for(k = 0 ; k < 256 ; k ++ )
					f[j][k] = ((g[j][k] + h[j][k] - f[j][k]) % p + p) % p;
		}
		else
		{
			last = i;
			for(j = 0 ; j < 256 ; j ++ )
				for(k = 0 ; k < 256 ; k ++ )
					g[j][k] = f[j][k];
			for(j = 255 ; ~j ; j -- )
				for(k = 255 ; ~k ; k -- )
					if(!(j & k) && !(a[i].val & k))
						f[j | a[i].val][k] = (f[j | a[i].val][k] + g[j][k]) % p , f[k][j | a[i].val] = (f[k][j | a[i].val] + g[j][k]) % p;
		}
	}
	for(i = 0 ; i < 256 ; i ++ )
		for(j = 0 ; j < 256 ; j ++ )
			if(!(i & j) && f[i][j])
				ans = (ans + f[i][j]) % p;
	printf("%d\n" , ans);
	return 0;
}