【bzoj4825】[Hnoi2017]单旋 线段树+STL-set

题目描述

H 国是一个热爱写代码的国家，那里的人们很小去学校学习写各种各样的数据结构。伸展树（splay）是一种数据结构，因为代码好写，功能多，效率高，掌握这种数据结构成为了 H 国的必修技能。有一天，邪恶的“卡”带着他的邪恶的“常数”来企图毁灭 H 国。“卡”给 H 国的人洗脑说，splay 如果写成单旋的，将会更快。“卡”称“单旋 splay”为“spaly”。虽说他说的很没道理，但还是有 H 国的人相信了，小 H 就是其中之一，spaly 马上成为他的信仰。 而 H 国的国王，自然不允许这样的风气蔓延，国王构造了一组数据，数据由 m 个操作构成，他知道这样的数据肯定打垮 spaly，但是国王还有很多很多其他的事情要做，所以统计每个操作所需要的实际代价的任务就交给你啦。

数据中的操作分为五种：

1. 插入操作：向当前非空 spaly 中插入一个关键码为 key 的新孤立节点。插入方法为，先让 key 和根比较，如果 key 比根小，则往左子树走，否则往右子树走，如此反复，直到某个时刻，key 比当前子树根 x 小，而 x 的左子树为空，那就让 key 成为 x 的左孩子； 或者 key 比当前子树根 x 大，而 x 的右子树为空，那就让 key 成为 x 的右孩子。该操作的代价为：插入后，key 的深度。特别地，若树为空，则直接让新节点成为一个单个节点的树。（各节点关键码互不相等。对于“深度”的解释见末尾对 spaly 的描述）。

2. 单旋最小值：将 spaly 中关键码最小的元素 xmin 单旋到根。操作代价为：单旋前 xmin 的深度。（对于单旋操作的解释见末尾对 spaly 的描述）。

3. 单旋最大值：将 spaly 中关键码最大的元素 xmax 单旋到根。操作代价为：单旋前 xmax 的深度。

4. 单旋删除最小值：先执行 2 号操作,然后把根删除。由于 2 号操作之后,根没有左子树,所以直接切断根和右子树的联系即可（具体见样例解释）。 操作代价同 2 号操 作。

5. 单旋删除最大值：先执行 3 号操作,然后把根删除。 操作代价同 3 号操作。

 

对于不是 H 国的人，你可能需要了解一些 spaly 的知识，才能完成国王的任务：

a. spaly 是一棵二叉树，满足对于任意一个节点 x，它如果有左孩子 lx，那么 lx 的关键码小于 x 的关键码。如果有右孩子 rx，那么 rx 的关键码大于 x 的关键码。

b. 一个节点在 spaly 的深度定义为：从根节点到该节点的路径上一共有多少个节点（包括自己）。

c. 单旋操作是对于一棵树上的节点 x 来说的。一开始,设 f 为 x 在树上的父亲。如果 x 为 f 的左孩子，那么执行 zig(x) 操作（如上图中，左边的树经过 zig(x) 变为了右边的树），否则执行 zag(x) 操作（在上图中，将右边的树经过 zag(f) 就变成了左边的树）。每当执 行一次 zig(x) 或者 zag(x)，x 的深度减小 1，如此反复，直到 x 为根。总之，单旋 x 就是通过反复执行 zig和 zag 将 x 变为根。

输入

第一行单独一个正整数 m。

接下来 m 行，每行描述一个操作：首先是一个操作编号 c∈[1,5]，即问题描述中给出的五种操作中的编号，若 c = 1，则再输入一个非负整数 key，表示新插入节点的关键码。

1≤m≤10^5,1≤key≤10^9

所有出现的关键码互不相同。任何一个非插入操作，一定保证树非空。在未执行任何操作之前，树为空

输出

输出共 m 行，每行一个整数，第 i 行对应第 i 个输入的操作的代价。

样例输入

5
1 2
1 1
1 3
4
5

样例输出

1
2
2
2
2

---

题解

Splay 线段树+STL-set

这道题的关键之处在于：除了插入以外，只操作最大/最小值。

所以每次旋转只有一个固定方向。

以旋转最小值为例，一定是不断的进行zig操作最终旋转到根。

通过找规律可以证明这种操作之后，最小节点深度变为1，原来最小节点的右子树深度不变，其余节点深度+1并且结构不变。

而右子树一定是一段连续的区间，这样我们可以使用线段树维护这个过程，同时还要维护每个节点的父亲和儿子，这个不难维护。

删除的时候，把根节点删掉，其余节点深度-1且结构不变。

这样2345操作都搞定了，只剩下1操作。

考虑到插入一个数x，一定是在它的前驱pro或后继sub其一插入，而且一定存在某个节点不存在相应的儿子。

具体地，有个结论：pro和sub的深度一定不同，且深度大的可以插入。

具体证明很简单，在这里不细讲了。

这样只要知道前驱后继即可，可以在线段树上求，但我懒了直接上set搞定。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <set>
#define N 100010
#define lson l , mid , x << 1
#define rson mid + 1 , r , x << 1 | 1
using namespace std;
set<int> s;
set<int>::iterator it , pro , sub;
int sum[N << 2] , si[N << 2] , tag[N << 2] , ls[N] , rs[N] , fa[N] , opt[N] , a[N] , v[N] , tot , root;
void pushup(int x)
{
    sum[x] = sum[x << 1] + sum[x << 1 | 1] , si[x] = si[x << 1] + si[x << 1 | 1];
}
void pushdown(int x)
{
    if(tag[x])
    {
        sum[x << 1] += si[x << 1] * tag[x] , tag[x << 1] += tag[x];
        sum[x << 1 | 1] += si[x << 1 | 1] * tag[x] , tag[x << 1 | 1] += tag[x];
        tag[x] = 0;
    }
}
void change(int p , int o , int d , int l , int r , int x)
{
    if(l == r)
    {
        si[x] += o , sum[x] += d;
        return;
    }
    pushdown(x);
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(p <= mid) change(p , o , d , lson);
    else change(p , o , d , rson);
    pushup(x);
}
void update(int b , int e , int a , int l , int r , int x)
{
    if(b <= l && r <= e)
    {
        sum[x] += a * si[x] , tag[x] += a;
        return;
    }
    pushdown(x);
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(b <= mid) update(b , e , a , lson);
    if(e > mid) update(b , e , a , rson);
    pushup(x);
}
int query(int p , int l , int r , int x)
{
    if(l == r) return sum[x];
    pushdown(x);
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(p <= mid) return query(p , lson);
    else return query(p , rson);
}
int main()
{
    int m , i , d;
    scanf("%d" , &m);
    for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
    {
        scanf("%d" , &opt[i]);
        if(opt[i] == 1) scanf("%d" , &a[i]) , v[++tot] = a[i];
    }
    sort(v + 1 , v + tot + 1);
    for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) if(opt[i] == 1) a[i] = lower_bound(v + 1 , v + tot + 1 , a[i]) - v;
    for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
    {
        if(opt[i] == 1)
        {
            if(s.empty()) root = a[i] , d = 1;
            else
            {
                it = s.upper_bound(a[i]) , sub = it;
                if(sub == s.begin()) ls[*sub] = a[i] , fa[a[i]] = *sub , d = query(*sub , 1 , tot , 1) + 1;
                else
                {
                    pro = --it;
                    if(sub == s.end()) rs[*pro] = a[i] , fa[a[i]] = *pro , d = query(*pro , 1 , tot , 1) + 1;
                    else if(query(*sub , 1 , tot , 1) < query(*pro , 1 , tot , 1)) rs[*pro] = a[i] , fa[a[i]] = *pro , d = query(*pro , 1 , tot , 1) + 1;
                    else ls[*sub] = a[i] , fa[a[i]] = *sub , d = query(*sub , 1 , tot , 1) + 1;
                }
            }
            printf("%d\n" , d);
            change(a[i] , 1 , d , 1 , tot , 1);
            s.insert(a[i]);
        }
        else if(opt[i] % 2 == 0)
        {
            it = s.begin() , d = query(*it , 1 , tot , 1);
            printf("%d\n" , d);
            if(*it != root)
            {
                update(1 , tot , 1 , 1 , tot , 1);
                update(*it , *it , -d , 1 , tot , 1);
                int t = fa[*it];
                ls[t] = fa[*it] = 0;
                if(rs[*it]) update(*it + 1 , t - 1 , -1 , 1 , tot , 1) , fa[rs[*it]] = t , ls[t] = rs[*it];
                rs[*it] = root , fa[root] = *it , root = *it;
            }
            if(opt[i] == 4) root = rs[*it] , rs[*it] = fa[root] = 0 , change(*it , -1 , -1 , 1 , tot , 1) , update(1 , tot , -1 , 1 , tot , 1) , s.erase(*it);
        }
        else
        {
            it = s.end() , it -- , d = query(*it , 1 , tot , 1);
            printf("%d\n" , d);
            if(*it != root)
            {
                update(1 , tot , 1 , 1 , tot , 1);
                update(*it , *it , -d , 1 , tot , 1);
                int t = fa[*it];
                rs[t] = fa[*it] = 0;
                if(ls[*it]) update(t + 1 , *it - 1 , -1 , 1 , tot , 1) , fa[ls[*it]] = t , rs[t] = ls[*it];
                ls[*it] = root , fa[root] = *it , root = *it;
            }
            if(opt[i] == 5) root = ls[*it] , ls[*it] = fa[root] = 0 , change(*it , -1 , -1 , 1 , tot , 1) , update(1 , tot , -1 , 1 , tot , 1) , s.erase(*it);
        }
    }
    return 0;
}