【题解】CF24D Broken Robots(收敛性)

【题解】CF24D Broken Robots

http://codeforces.com/problemset/problem/24/D

解1(不会写，口胡的)

获得一个比较显然的转移式子

$dp(i,j)$代表在$(i,j)$坐标需要期望的走的次数

\[dp(i,j)=0.25(1+dp(i-1,j)+dp(i,j-1)+dp(i,j+1))
\]

然而我们可以发现这个式子不满足无后效性..也找不到一种合适的顺序DP。

我们发现可以高斯消元，但是$O(n^4)$的复杂度我们接受不了。

式子里面的$dp(i-1,j)$是上一行的事情，不需要考虑，直接转移即可，我们把$dp(i,j)$抽象为$x_j$

那么我们考虑的是。

\[x_j=0.25(1+l_j+x_{j-1}+x_{j+1})
\]

写成划一下

\[-0.25x_{j-1}+x_j-0.25x_{j+1}=0.25l_j+0.25
\]

写成矩阵

\[\begin{pmatrix}
1&-0.25&0& 0&0&0&0.25l_1+0.25
\\
-0.25&1&-0.25& 0&0&0&0.25l_2+0.25
\\
0&-0.25&1&-0.25&0&0&0.25l_3+0.25
\\
0&0&-0.25&1&-0.25&0&0.25l_4+0.25
\\
0&0&0&-0.25&1&-0.25&0.25l_5+0.25
\\
0&0&0&0&-0.25&1&0.25l_6+0.25
\end{pmatrix}
\]

魔改一下高斯消元即可。

解2

众所周知，概率函数具有收敛性。并且是指数地收敛的。又因为期望的式子里有概率作为因子，所以它应该是收敛的。(其实不是应该！是一定！若概率收敛则期望收敛(特殊情况除外)，具体证说明可以把概率和随机变量分开DP!)

好，既然我们已经知道了这个函数具有收敛性，那么我们就让他在每一行就多转移几次就好了。具体操作就是让每个点按照顺序每次从左边转移过来一次，从右边转移过来一次。重复这个步骤随便多少次就好了。

由于精度只要$10^{-4}$，我们只需要$\log_{\frac 1 3}10^{-4}=9$次就好了。此处的分析是错误的，请高手说明一下QAQ。注意，这里的"概率函数的收敛"性是抽出一行看的，不能在转移的时候把自己的$0.25$和上一行的$0.25l$加进来，不然显然是个发散的函数。

为了方便统计答案，我们反着dp，毕竟从最后一行到起点的期望步数=从起点到最后一行的期望步数。

$dp(i,j)$表示从最后一行到这一点$(i,j)$的期望步数。

转移:

\[dp(i,j)=1/dr[i][j]\times (dp[i+1][j]+dp[i][j-1,j,j+1])+1
\]

//@winlere

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;  typedef long long ll;

inline int qr(){

      register int ret=0,f=0;

      register char c=getchar();

      while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();

      while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();

      return f?-ret:ret;

}

const int maxn=1e3+5;

typedef long double lb;

lb dp[maxn][maxn],ans;

const lb qt[]={0,(lb)1.0/1,(lb)1.0/2,(lb)1.0/3,(lb)1.0/4};

int cnt;

int n,m;

int x,y;

int main(){

      n=qr();m=qr();

      x=qr();y=qr();

      const int lit=50000000/(m)/(n-x+1);

      for(register int t=n-1;t>=x;--t){

	    for(register int t0=1;t0<=lit;++t0){

		  if(m>1)

			dp[t][1]=qt[3]*(dp[t+1][1]+dp[t][2]+dp[t][1])+1,dp[t][m]=qt[3]*(dp[t+1][m]+dp[t][m-1]+dp[t][m])+1;

		  if(m==1) dp[t][1]=qt[2]*(dp[t][1]+dp[t+1][1])+1;

		  for(register int i=2;i<m;++i)

			dp[t][i]=qt[4]*(dp[t+1][i]+dp[t][i-1]+dp[t][i]+dp[t][i+1])+1;

	    }

      }

      cout.precision(10);

      cout<<dp[x][y]<<endl;

      return 0;

}

//18.0038068653