BZOJ3612 [Heoi2014]平衡整数划分

[Heoi2014]平衡

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Description

下课了，露露、花花和萱萱在课桌上用正三棱柱教具和尺子摆起了一个“跷跷板”。

这个“跷跷板”的结构是这样的：底部是一个侧面平行于地平面的正三棱柱教具，

上面摆着一个尺子，尺子上摆着若干个相同的橡皮。尺子有 2n + 1 条等距的刻度线，

第 n + 1 条刻度线恰好在尺子的中心，且与正三棱柱的不在课桌上的棱完全重合。

露露发现这个“跷跷板”是不平衡的（尺子不平行于地平面）。于是，她又在尺

子上放了几个橡皮，并移动了一些橡皮的位置，使得尺子的 2n + 1 条刻度线上都恰

有一块相同质量的橡皮。“跷跷板”平衡了，露露感到很高兴。

花花觉得这样太没有意思，于是从尺子上随意拿走了 k 个橡皮。令她惊讶的事

情发生了：尺子依然保持着平衡！

萱萱是一个善于思考的孩子，她当然不对尺子依然保持平衡感到吃惊，因为这

只是一个偶然的事件罢了。令她感兴趣的是，花花有多少种拿走 k 个橡皮的方法

，使得尺子依然保持平衡？

当然，为了简化问题，她不得不做一些牺牲——假设所有橡皮都是拥有相同质量的

质点。但即使是这样，她也没能计算出这个数目。放学后，她把这个问题交给了她

的哥哥/ 姐姐——Hibarigasaki 学园学生会会长，也就是你。当然，由于这个问题

的答案也许会过于庞大，你只需要告诉她答案 mod p 的值。

Input

第一行，一个正整数，表示数据组数 T（萱萱向你询问的次数）。

接下来 T 行，每行 3 个正整数 n, k, p。

Output

共 T 行，每行一个正整数，代表你得出的对应问题的答案。

Sample Input

10
6 5 10000
4 1 10000
9 6 10000
4 6 10000
5 1 10000
8318 10 9973
9862 9 9973
8234 9 9973
9424 9 9973
9324 9 9973

Sample Output

73
1
920
8
1
4421
2565
0
446
2549

HINT

T <= 20，1 <= n <= 10000，1 <= k <= 10，2 <= p <= 10000，且 k <= 2n+1。

设f(i, j)表示把i分成j个不同的且<= n的整数的方案数。

考虑一般的整数划分数问题，f(i, j) = f(i-1, j-1) + f(i-j, j)，其中第一项表示新填一个1，第二项表示把所有数都加1。

顺着这个思路，我们先考虑“不同”这个限制。

显然我们不能直接新填一个1，所以我们考虑把所有数加1，搞出来一个1，第一项得出为f(i-j, j-1)

第二项同样为f(i-j, j).

所以状态转移方程为f(i, j) = f(i-j, j) + f(i-j, j-1).

再考虑不能超过n这个限制，如果有超过n的数，显然它只有一个，而且是n+1，所以我们把这些情况减掉，即f(i-n-1, j-1).

统计答案时，考虑选了0和不选0，两种情况，并特判k=1.

 #include <cstdio>

 #include <cstring>

 #include <iostream>

 #include <algorithm>

 #define N 101001

 #define M 15

 using namespace std;

 int n,m,p,w;

 int f[N][M]; // f[i][j] 表示

 //将i划分成j个互不相同的正整数，

 // 且最大不超过n 的划分方案数

 int main()

 {

     int i,j,k,g;

     f[][]=;

     for(scanf("%d",&g);g--;)

     {

         scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);

         if(m==)

         {

             puts("");

             continue;

         }

         w=n*(m-);

         for(i=;i<=w;i++)

             for(j=;j<m;j++)

             {

                 f[i][j]=(i>=j?(f[i-j][j]+f[i-j][j-]):);

                 f[i][j]=(i>=n+)?(f[i][j]-f[i-n-][j-]):f[i][j];

                 f[i][j]=(f[i][j]%p+p)%p;

             }

         long long ans=;

         for(i=;i<=w;i++)

             for(j=;j<m;j++)

                 ans+=f[i][j]*f[i][m-j],ans%=p;

         for(i=;i<=w;i++)

             for(j=;j<m-;j++)

                 ans+=f[i][j]*f[i][m--j],ans%=p;

         printf("%lld\n",ans);

     }

 }