暑假集训CSP提高模拟1

A.Start

比较小的大模拟，还没改出来

B.mine

线性推一下（这个题记搜容易写偏，因为分讨太多）

设 \(f[i][j]\)，第一维表示位置，第二位表示末位状态（是雷，是 \(0\)，是 \(2\)，是 \(1\) 且雷在左边，是 \(1\) 且雷在右边）

初始化：

1. 第二位有雷，第一位初始化为右雷 \(1\)

2. 第二位是问号，则第一位可以是右雷 \(1\) 或 \(0\)

3. 否则为空

转移：

1. 是雷：前一位可为右雷 \(1\)，\(2\) 或雷

2. 是 \(0\)，前一位可为 \(0\) 或左雷 \(1\)

3. 是 \(1\)，分讨，左雷 \(1\) 前一位可为雷，右雷 \(1\) 前一位可为 \(0\) 或左雷 \(1\)

4. 是 \(2\)，前一位只能为雷

5. 是问号，分讨上述情况

最后统计答案直接对 \(0\)，左雷 \(1\) 和 \(2\) 求和即可（因为不存在的可能方案为零，对答案无影响，此处不用分讨）

C.小凯的疑惑

设 \(x=k_1 (x,y),y=k_2 (x,y)\)

则 \(ax+by=ak_1 (x,y)+bk_2(x,y)\)

\(ax+by=(ak_1+bk_2)(x,y)\)

注意到当 \((x,y)\neq 1\) 时，无法得到全部正整数，此时无解

当每种都必须选一个时，不能凑成的最大钱数为 \(x\times y\)

证明如下：

充分性：\(x\times y=ax+by\) 无解

假设原式有解，且 \(gcd(x,y)=1\)，根据裴蜀定理，\(x\times y=1\)

即 \(ax+by=1\)，再由裴蜀定理，此方程无全正解，假设不成立

必要性证明比较麻烦，参见 此处

因此在 \(x\times y\) 范围内统计答案即可，暴力可过

UPD: 感谢评论区大佬的指正，实际上最大的不可获得数字为 \(xy-x-y\)，这里算的是 \(a,b\lt 0\) 的情况，还要再减去一个 \((a+b)\)

D.春节十二响

注意到，两个节点能合并，当且仅当他们在不同的子树内

并且，两个更大的点合并后，对答案的贡献越少

因此考虑从深到浅枚举根节点合并，每次都挑两个部分最大的合并，这样能够使答案尽可能的小

想到优先队列，维护一下即可