NC19987 [HAOI2012]ROAD

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题目

题目描述

C国有n座城市，城市之间通过m条单向道路连接。一条路径被称为最短路，当且仅当不存在从它的起点到终点的另外一条路径总长度比它小。两条最短路不同，当且仅当它们包含的道路序列不同。我们需要对每条道路的重要性进行评估，评估方式为计算有多少条不同的最短路经过该道路。现在，这个任务交给了你。

输入描述

第一行包含两个正整数n、m

接下来m行每行包含三个正整数u、v、w，表示有一条从u到v长度为w的道路

输出描述

输出应有m行，第i行包含一个数，代表经过第i条道路的最短路的数目对1000000007取模后的结果

示例1

输入

4 4
1 2 5
2 3 5
3 4 5
1 4 8

输出

2
3
2
1

备注

30% 的数据满足：\(n\leq 15, m\leq 30\) 。

60% 的数据满足：\(n\leq 300, m\leq 1000\) 。

100% 的数据满足：\(n\leq 1500, m\leq 5000, w\leq 10000\) 。

题解

知识点：最短路，计数dp，DAG上dp。

为了求出每条边被最短路经过的次数，我们先以每个点出发考虑。

对于某点 \(i\) 为源点，经过一条边 \(u \to v\) 的最短路条数，可以分解为求 \(u\) 为终点的最短路条数，以及 \(v\) 为起点的最短路条数，最后乘在一起就是以 \(i\) 为源点经过这条边的最短路条数。以下是具体步骤：

1. 先求出以 \(u\) 为终点的最短路条数，可以通过跑最短路时求出。对于一条边 \(u\to v\) ，若 \(dis[v] > dis[u] + w\) ，则 \(dp[v] = dp[u]\) ；若 \(dis[v] = dis[u] + w\) ，则 \(dp[v] = dp[v] + dp[u]\) 。
2. 随后求出以 \(v\) 为起点的最短路条数，可以从 \(i\) 自底向上dfs求出，。因为最短路图一定是DAG，所以可以进行DAG上dp。对于某点 \(u\) 的下一个节点 \(v_i\)，如果边 $ u \to v_i$ 在最短路上，则先求出以 \(v_i\) 为起点（包括自己为终点，所以初始化 \(dpv[v] = 1\)）最短路条数 \(dpv[v_i]\) ，随后可以求出 \(dpv[u] =1+ \sum dpv[v_i]\) ，即以 \(u\) 为起点最短路条数。如果某点以及被计算过了，那就跳过。
3. 在第二步的同时，我们得到了边 \(u \to v\) 的 \(dp[u]\) 和 \(dpv[v]\) 。那么，这条边以 \(i\) 为源点的答案贡献是 \(dp[u] \cdot dpv[v]\) 。

对每个点都求一遍，累加每条边的贡献即可。

时间复杂度 \(O(n(n+m)\log m)\)

空间复杂度 \(O(n+m)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 1507, M = 5007;

struct edge {
    int v, nxt, w;
}e[M];
int h[N], idx;
void add(int u, int v, int w) {
    e[++idx] = { v,h[u],w };
    h[u] = idx;
}

bool vis[N];
int dis[N];
int dp[N];///起点到i点的最短路总数
struct node {
    int v, w;
    friend bool operator<(const node &a, const node &b) {
        return a.w > b.w;
    }
};
priority_queue<node> pq;
void dijkstra(int s) {
    dis[s] = 0;
    dp[s] = 1;
    pq.push({ s,0 });
    while (!pq.empty()) {
        int u = pq.top().v;
        pq.pop();
        if (vis[u]) continue;
        vis[u] = 1;
        for (int i = h[u];i;i = e[i].nxt) {
            int v = e[i].v, w = e[i].w;
            if (dis[v] > dis[u] + w) {
                dis[v] = dis[u] + w;
                dp[v] = dp[u];
                pq.push(node{ v,dis[v] });
            }
            else if (dis[v] == dis[u] + w) {
                dp[v] = (dp[u] + dp[v]) % mod;
            }
        }
    }
}

int dpv[N];///i点把其他点作为终点的最短路总数
int ans[M];
void dfs(int u) {
    if (dpv[u]) return;
    dpv[u] = 1;///自己作为终点的一种
    for (int i = h[u];i;i = e[i].nxt) {
        int v = e[i].v, w = e[i].w;
        if (dis[v] == dis[u] + w) {
            dfs(v);
            dpv[u] = (dpv[u] + dpv[v]) % mod;
            ans[i] = (ans[i] + 1LL * dp[u] * dpv[v]) % mod;
        }
    }
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1;i <= m;i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        add(u, v, w);
    }
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        for (int j = 1;j <= n;j++) vis[j] = dp[j] = dpv[j] = 0, dis[j] = 0x3f3f3f3f;
        dijkstra(i);
        dfs(i);
    }
    for (int i = 1;i <= m;i++) cout << ans[i] << '\n';
    return 0;
}