单qubit量子门

量子编程的基本单元就是量子门。量子编程有点像传统的电路设计，一个量子程序可以被写成量子门序列。



图中有一些符合，比如H门、X门、Z门、测量等，我们都会接触到。

传统计算机程序的输入和输出可以不一样，但是量子程序是绝对不允许这样的。在两个方向可以逆转的操作不会丢失信息，而比如加法这样的就不行，你知道3是1+2还是0+3？



同理，qubit不会被拆分或合并。所以量子编程没有if-then-else之类的控制流程。

qubit运算

叠加态可以表示成

\(
|\psi\rangle=a_0|0\rangle+a_1|1\rangle\\=\cos\frac{\theta}{2}|0\rangle+e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}|1\rangle\\=\cos\frac{\theta}{2}|0\rangle+\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\sin\frac{\theta}{2}|1\rangle
\)

所以量子计算就是在控制\(\phi\)和\(\theta\)这两个角。

哈德玛门

前面我们已经了解了哈德玛门，它的逆矩阵等于它自己。哈德玛门可以用来制备纠缠粒子，也可以用来强化某个状态的概率（比如将另一个状态的概率降为0）。

对于\(n\)个qubit组成的系统，可以分别给每个qubit应用哈德玛门来制备一个状态均匀分布的叠加系统：



右上角的\(\otimes n\)表示并行应用\(n\)次；右边的\(x\)是状态空间中的每个向量。2应的方程是（这是\(n+1\)个qubit，但只给\(n\)个使用了哈德玛门）：

整体相位

一个叠加态可以表示为

\[|\psi\rangle=e^{i\gamma}\left(\cos\frac{\theta}{2}|0\rangle+e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}|1\rangle\right)
\]

其中，括号外面的称为整体相位，括号里面每个基向量的系数称为相对相位。两个向量在数学上不一样的话，如果它们只是整体相位不同，那在实际世界中是区分不出来的。比如两个向量整体相位相差\(\Delta\gamma=\pi\)，它们测量的结果就是一样的。例如：

\[\frac{-|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}，\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}
\]

只有两个向量的相对相位不一样，它们测量结果才不一样。下面两个向量只有整体相位不同，所以测量结果一样；给他俩都应用\(H\)门，它们的相对相位就会变化，它们就会分别变成\(|0\rangle\)和\(|1\rangle\)：

\[\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}，\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}
\]

一些算法就是利用的这个原理对向量进行分组测量：

泡利门

泡利门有三个，都非常简单，不像哈德玛门的定义那么复杂。三个泡利门是为了在三个维度方向旋转向量的：

X泡利门

\(X\)门会交换两个基向量的振幅，它将向量沿着\(x\)轴旋转。它一般被和经典逻辑中的非（NOT）进行对比，因为它会反转\(|0\rangle\)和\(|1\rangle\)。

\[\mathbf{X}=\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{bmatrix}=|1\rangle\langle0|+|0\rangle\langle1|\\
\alpha_0|0\rangle+\alpha_1|1\rangle\overset{X}{\rightarrow}\alpha_1|0\rangle+\alpha_0|1\rangle
\]

Y泡利门

顾名思义，\(Y\)门会把向量沿着\(y\)轴翻转。

\[\mathbf{Y}=\begin{bmatrix}
0 & i \\
i & 0 \\
\end{bmatrix}=i|1\rangle\langle0|-i|0\rangle\langle1|\\
\alpha_0|0\rangle+\alpha_1|1\rangle\overset{X}{\rightarrow}-i\alpha_1|0\rangle+i\alpha_0|1\rangle
\]

可见\(Y\)门会给系数乘上\(\pm i\)然后交换，它和\(X\)门的差别是查一个相位。

Z泡利门

\(Z\)门会保持\(|0\rangle\)的振幅不变，而给\(|1\rangle\)引一个负相位：

\[\mathbf{Z}=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{bmatrix}=|1\rangle\langle0|-|0\rangle\langle1|\\
\alpha_0|0\rangle+\alpha_1|1\rangle\overset{X}{\rightarrow}\alpha_0|0\rangle-\alpha_1|1\rangle
\]

相移

除了\(Z\)门，还有一些门是向量沿着\(z\)轴翻转，比如\(T\)、\(S\)：

S门

\(Z\)门是绕\(z\)轴转\(\pi\)，\(S\)门是转半\(\pi\)。

\[\mathbf{S}=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & i \\
\end{bmatrix}=|1\rangle\langle0|+i|0\rangle\langle1|
\]

T门

\(Z\)门是绕\(z\)轴转\(\pi\)，\(S\)门是转\(\frac{\pi}{2}\)，\(T\)门是转\(\frac{\pi}{4}\)。

\[\mathbf{S}=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & e^{{i\pi}/{4}} \\
\end{bmatrix}=|1\rangle\langle0|+e^{i\pi/4}|0\rangle\langle1|
\]

相移门

更一般的，对于绕\(z\)轴转任意的\(\theta\)角，对\(|1\rangle\)的影响如下：

\[\mathbf{S}=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & e^{i\theta} \\
\end{bmatrix}=|1\rangle\langle0|+e^{i\theta}|0\rangle\langle1|
\]

测量

测量的符号看起来像一个仪表指针

幺矩阵

幺门就是单位矩阵，不影响向量

\[\mathbf{I}=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
\]

有时候为了看起来清晰，会额外在方程里加上

未完

这里看完了1-qubit操作门，后面我们会说多qubit门。总结下：单qubit门就是在球面上移动向量。