Subset Sum 问题单个物品重量限制前提下的更优算法

前言

看了 ShanLunjiaJian 关于这个问题的文章，是完全没看懂，沙东队爷的中枢神经内核配置把我偏序了。叉姐在下面提了个论文，论文找不到资源，谁搞到了可以 Q 我一份之类的拜谢了。然后找到了这个可能是阅读笔记或者是翻译的的东西，这下算是看懂了。

感觉还是很有意思，对于 DP 的状态设计、优化思路等都有很大启发，所以写一下。

（有单个物品重量限制的）Subset Sum 问题

ShanLunjiaJian 把这个叫做 Knapsack，我是要批判的，因为感觉上是带不了权的啊，这不是Knapsack！

那么描述一下这个问题：给定 \(n\) 个物品，每个物品有一个正整数重量 \(w_i\)，保证 \(1\le w_i\le V\)，其中 \(V\) 是所谓的重量限制。现在给一个容量 \(C\)，取这些物品的一个子集，使得重量和不能超过这个容量，然后要求物品总重量的最大值，也就是让浪费的容量最小。

低论

这个问题显然有一个做法，叫做把它当作一个普通 Knapsack 问题，时间复杂度 \(\Theta(nC)\)。那么有意义的 \(C \le nV\)。所以其实上界是 \(n^2V\)。现在我们有高论！可以做到 \(\Theta(nV)\)。

高论

首先这个问题有一个经典贪心做法，叫做给所有元素从小到大排个序，然后选一个前缀使得再多选一个就会超过容量限制。这个做法当然是错的，但是可以基于它给出的这个既有选择方法去做调整，那么这样一来，剩余容量就是 \(\mathrm O(V)\) 的（如果大于 \(V\) 就一定可以再多选一个，矛盾了），很可做！

现在我们面临的问题是什么呢？我们的 DP 可能出现负数重量了（因为要支持取消选择一些原本选了的物品），这种条件下，要去维持我的剩余容量始终保持 \(\mathrm O(V)\)，是有一点难度的。怎么办呢？

考虑一个直觉，是不是可以这样去操作：当试图去取消一个原先选的物品（也就是选负数）的时候，一定要让当前容量是超额的；当去选正数的时候，一定要让当前容量是不满的。考虑最优解是不是一定能用这种方式构造出来——显然是可以的。证明可以这样想，假设我从贪心生成的“基础解”开始，按照某个顺序去把它修正成最优解，是不是每一步都一定能按照上述规则操作。那么可以这样想：如果现在容量是超额的，但是不存在某个元素使得“最优解中没选它，当前解中选了它”，那么最优解选择的集合一定包含当前解，它的容量就一定也是超额的，矛盾，所以一定有办法去进行操作。反之亦然，因此按照这样的规则操作，必然能得到某种最优解。更棒的是，在这样操作的过程中，剩余容量始终在 \([-V, V]\) 以内！真是好极了，接下来只需要基于这种构造方案来 DP 就可以了。

先设计一个朴素 DP。设贪心得到的分界点为 \(p\)，使得目前选择的集合是标号 \(\le p\) 的物品，\(S_0 = \sum\limits_{i = 1}^{p} w_i\)。那么设 \(g_{i, j, k}\) 表示右边决策到 \(i\)，左边决策到 \(j\)，当前剩余容量为 \(k \in [-V, V]\) 的方案是否存在。这个 DP 复杂度是 \(\Theta(n^2V)\)，真是一点优化效果都没有！但是这个东西的进一步改造非常方便，这就是下一步的想法。

注意到这是一个值为 Boolean 类型的 DP，如果发现某一维具有单调性，那么就可以压缩掉这维。可以观察到：如果 \(g_{i, j, k} = 1\)，那么对于任何 \(t \le j\)，都有 \(g_{i, t, k} = 1\)——毕竟在左侧做出更多决策一定不会使可达集合变小。那么可以设 \(f_{i, k} = \max\{0 \le j \le p | g_{i, j, k} = 1\}\)。如果不存在这样的 \(j\)，设为 \(-1\)。那么 DP 的初始条件是 \(f_{p+1, S_0} = p\)。转移如下：

\[\begin{cases}
f_{i+1, k + w_i} \gets f_{i, k}, & k \le 0 & (1)\\
f_{i+1, k} \gets f_{i, k}, & \text{any} & (2)\\
f_{i, k - w_t} \gets t - 1; & k \ge 0 \land t \le f_{i, k} & (3)
\end{cases}
\]

整体按照 \(i\) 递增转移，每个 \(i\) 按照 \(k\) 递减的方向做转移 (3) 即可。时间复杂度是 \(\Theta(n^2V)\)，真是一点优化效果都没有！但是这个 DP 已经是 2D-1D 的了，进一步改造非常方便，这就是下一步的想法。

注意到只有转移 (3) 的复杂度不对，而这个转移很大程度上是重复的——某些转移过程，在 \(i = a\) 可以做，在 \(i = a - 1\) 同样可以做。那么可以尝试去掉这些转移，让本质相同的转移在最小的可以进行的 \(i\) 处去进行。注意到对于某个特定的 \(k\)，关于某个特定的 \(t\) 的转移能否进行，只和 \(f_{i, k}\) 是否足够大有关，而我们有单调性 \(f_{i, k} \le f_{i+1, k}\)，这是因为转移 (2) 的存在。所以转移 (3) 的条件可以改为 \(k \ge 0 \land f_{i-1, k} \le t \le f_{i,k}\)。这样一来，某个特定 \(k\) 对总复杂度的贡献是 \(\mathrm O(n)\) 的，所以总复杂度就变成了 \(\Theta(nV)\)！我们成功了！

后记

有人问有什么应用？我不知道啊。这么基础的东西一定有很多应用前景吧！（心虚）