[Luogu] LCA

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4211

baoli

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
const int N = 5e4 + ;
const int Mod = ;

#define gc getchar()

#define RR freopen("gg.in", "r", stdin) 

int fa[N] = {-}, deep[N], cnt[N], head[N];
struct Node {int u, v, nxt;} G[N];
int n, Ty, now = ;

inline int read() {
    int x = ; char c = gc;
    while(c < '' || c > '') c = gc;
    while(c >= '' && c <= '') x = x *  + c - '', c = gc;
    return x;
}

inline void Add(int u, int v) {
    G[now].u = u; G[now].v = v; G[now].nxt = head[u]; head[u] = now ++;
}

void Dfs(int u, int dep) {
    deep[u] = dep;
    for(int i = head[u]; ~ i; i = G[i].nxt) {
        int v = G[i].v;
        if(v != fa[u]) Dfs(v, dep + );
    }
}

void Dfs_2(int u) {
    if(head[u] == -) return ;
    for(int i = head[u]; ~ i; i = G[i].nxt) {
        int v = G[i].v;
        if(v != fa[u]) {
            Dfs_2(v);
            cnt[u] += cnt[v];
        }
    }
}

int main() {
    n = read();
    Ty = read();
    for(int i = ; i < n; i ++) head[i] = -;
    for(int i = ; i < n; i ++) {
        int u = read(); fa[i] = u;
        Add(u, i); Add(i, u);
    }
    Dfs(, );
    while(Ty --) {
        int l = read(); int r = read(); int z = read();
        for(int i = l; i <= r; i ++) cnt[i] ++;
        Dfs_2();
        int imp = z;
        int Answer = ;
        while(fa[imp] != -) {
            Answer += cnt[imp];
            Answer %= Mod;
            imp = fa[imp];
        } Answer += cnt[imp];
        Answer %= Mod;
        cout << Answer << endl;
        memset(cnt, , sizeof cnt);
    }
    return ;
} 

考虑这样的等价问题，如果我们把一个点 x 到 Root 的路径上每个点的权值赋为 1 ，其余点的权值为 0，那么从 LCA(x, y) 的 Depth 就是从 y 到 Root 的路径上的点权和。

这个方法是可以叠加的，这是非常有用的一点。如果我们把 [l, r] 的每个点到 Root 的路径上所有点的权值 +1，再求出从 c 到 Root 的路径点权和，即为 [l, r] 中所有点与 c 的 LCA 的 Depth 和。

不仅满足可加性，还满足可减性，这就更好了！

那么我们就可以对每个询问 [l, r] 做一个差分，用 Query(r) - Query(l - 1) 作为答案。这样就有一种离线算法：将 n 个点依次操作，将其到 Root 的路径上的点权值 +1 ，然后如果这个点是某个询问的 l - 1 或 r ，就用那个询问的 c 求一下到 Root 的路径和，算入答案中。

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 50005
#define M 201314
#define K 150005
using namespace std;
struct graph {
    int nxt,to;
} e[N];
struct quest {
    int x,z,n,ans;
} l[N],r[N];
struct linetree {
    int l,r,s,len,lzy;
} lt[K];
int g[N],n,q,t1,t2,cnt;
int f[N],p[N],dep[N],top[N],siz[N],son[N];
inline int read() {
    int ret=;
    char c=getchar();
    while(!isdigit(c))
        c=getchar();
    while(isdigit(c)) {
        ret=(ret<<)+(ret<<)+c-'';
        c=getchar();
    }
    return ret;
}
inline void addedge(int x,int y) {
    e[++cnt].nxt=g[x];
    g[x]=cnt;
    e[cnt].to=y;
}
inline void dfs1(int u) {
    int m=;
    siz[u]=;
    for(int i=g[u]; i; i=e[i].nxt) {
        f[e[i].to]=u;
        dep[e[i].to]=dep[u]+;
        dfs1(e[i].to);
        siz[u]+=siz[e[i].to];
        if(siz[e[i].to]>m) {
            son[u]=e[i].to;
            m=siz[e[i].to];
        }
    }
}
inline void dfs2(int u,int tp) {
    top[u]=tp;
    p[u]=++cnt;
    if(son[u]) dfs2(son[u],tp);
    for(int i=g[u]; i; i=e[i].nxt)
        if(e[i].to!=son[u])
            dfs2(e[i].to,e[i].to);
}
inline void build(int u,int l,int r) {
    lt[u].l=l;
    lt[u].r=r;
    lt[u].len=lt[u].r-lt[u].l+;
    if(lt[u].l<lt[u].r) {
        int lef=u<<,rig=u<<|;
        int mid=lt[u].l+lt[u].r>>;
        build(lef,l,mid);
        build(rig,mid+,r);
    }
}
inline int cover(int u,int l,int r) {
    if(lt[u].l>=l&&lt[u].r<=r) {
        ++lt[u].lzy;
        lt[u].s=(lt[u].s+lt[u].len)%M;
    } else if(lt[u].l<lt[u].r) {
        int lef=u<<,rig=u<<|;
        int mid=lt[u].l+lt[u].r>>;
        if(lt[u].lzy) {
            lt[lef].lzy+=lt[u].lzy;
            lt[rig].lzy+=lt[u].lzy;
            lt[lef].s=(lt[lef].s+lt[lef].len*lt[u].lzy)%M;
            lt[rig].s=(lt[rig].s+lt[rig].len*lt[u].lzy)%M;
            lt[u].lzy=;
        }
        if(l<=mid) cover(lef,l,r);
        if(r>mid) cover(rig,l,r);
        lt[u].s=(lt[lef].s+lt[rig].s)%M;
    }
}
inline int ask(int u,int l,int r) {
    if(lt[u].l>=l&&lt[u].r<=r)
        return lt[u].s;
    if(lt[u].l<lt[u].r) {
        int lef=u<<,rig=u<<|,ret=;
        int mid=lt[u].l+lt[u].r>>;
        if(lt[u].lzy) {
            lt[lef].lzy+=lt[u].lzy;
            lt[rig].lzy+=lt[u].lzy;
            lt[lef].s=(lt[lef].s+lt[lef].len*lt[u].lzy)%M;
            lt[rig].s=(lt[rig].s+lt[rig].len*lt[u].lzy)%M;
            lt[u].lzy=;
        }
        if(l<=mid) ret=(ret+ask(lef,l,r))%M;
        if(r>mid) ret=(ret+ask(rig,l,r))%M;
        return ret;
    }
}
inline void add(int x,int y) {
    int t;
    while(top[x]!=top[y]) {
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) {
            t=x;
            x=y;
            y=t;
        }
        cover(,p[top[x]],p[x]);
        x=f[top[x]];
    }
    if(p[x]>p[y]) {
        t=x;
        x=y;
        y=t;
    }
    cover(,p[x],p[y]);
}
inline int que(int x,int y) {
    int ret=,t;
    while(top[x]!=top[y]) {
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) {
            t=x;
            x=y;
            y=t;
        }
        ret=(ret+ask(,p[top[x]],p[x]))%M;
        x=f[top[x]];
    }
    if(p[x]>p[y]) {
        t=x;
        x=y;
        y=t;
    }
    ret=(ret+ask(,p[x],p[y]))%M;
    return ret;
}
inline bool cmp1(quest x,quest y) {
    return x.x<y.x;
}

inline bool cmp2(quest x,quest y) {
    return x.n<y.n;
}
inline void Aireen() {
    n=read();
    q=read();
    for(int i=,j; i<=n; ++i) {
        j=read()+;
        addedge(j,i);
    }
    for(int i=; i<=q; ++i) {
        l[i].n=r[i].n=i;
        l[i].x=read();
        r[i].x=read()+;
        l[i].z=r[i].z=read()+;
    }
    sort(l+,l++q,cmp1);
    sort(r+,r++q,cmp1);
    while(t1<=q&&!l[t1].x) ++t1;
    while(t2<=q&&!r[t2].x) ++t2;
    dep[]=;
    dfs1();
    cnt=;
    dfs2(,);
    build(,,n);
    for(int i=; i<=n; ++i) {
        add(,i);
        while(t1<=q&&l[t1].x==i) {
            l[t1].ans=que(,l[t1].z);
            ++t1;
        }
        while(t2<=q&&r[t2].x==i) {
            r[t2].ans=que(,r[t2].z);
            ++t2;
        }
    }
    sort(l+,l++q,cmp2);
    sort(r+,r++q,cmp2);
    for(int i=; i<=q; ++i)
        printf("%d\n",(r[i].ans-l[i].ans+M)%M);
}
int main() {
    Aireen();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return ;
}