可能是一篇（抄来的）min25学习笔记

一个要求很多的积性函数

我们考虑有一个积性函数，这个函数满足可以快速计算质数处的值

且质数可以写成一个多项式的形式……而且这个多项式如果强行套在合数上，满足积性，我也不知道有没有除了\(x^{k}\)别的多项式惹

假如\(F(x) = x^{k}\)吧

我们想要计算这个东西

\(g(n,j)\)表示前\(n\)个数里，质数的和，加上合数中最小质因子大于\(P_{j}\)的和

那么，怎么求呢

我们考虑已经求好\(g(n,j - 1)\)这个数组

那么如果\(P_{j}^{2} > n\)

那么很妙，就是\(g(n,j) = g(n,j - 1)\)，因为没有以\(P_{j}\)为最小质因子的合数

如果\(P_{j}^{2} \leq N\)

那么考虑从\(g(n,j - 1)\)到\(g(n,j)\)减少了什么

例如，我显然减少了合数中最小质因子为\(P_{j}\)的值，因为定义里是大于，\(g(n,j)\)中的合数质因子至少是\(P_{j + 1}\)

那么最小质因子为\(P_{j}\)的值怎么算呢

我们先要提出一个\(P_{j}\)出来，然后在剩下的\(\lfloor \frac{n}{P_{j}} \rfloor\)中找出所有最小质因子大于等于\(P_{j}\)的个数

好像\(g(n,j - 1)\)就很不错！然而其中有一些小于\(P_{j}\)的质数，考虑把它们扣掉，这个可以预处理，因为\(P_{j}\)的范围在\(\sqrt{N}\)以内

记\(sum[j] = \sum_{i = 1}^{j} F(P_{i})\)

那么我们有

\[g(n,j) =\left\{\begin{matrix}
g(n,j - 1) & P_{j}^{2} > n\\
g(n,j - 1) - F(P_{j})(g(\lfloor \frac{n}{P_{j}} \rfloor,j - 1) - sum(j - 1)) & P_{j}^{2} \leq n
\end{matrix}\right.
\]

同时我们发现，我们只需要用到\(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\)的取值，一共\(2\sqrt{N}\)个位置，而且质数的话也只需要前\(\sqrt{N}\)个

初始化的话，对于\(g(n,0)\)，我们把这个\(F(x)\)多项式套在每个数上面，求一个\(\sum_{i = 2}^{n} x^{i}\)这个在k固定的时候有k + 1次多项式的公式可以快速计算

一般不会太大吧，如果拉格朗日插值的话可能和\(\sqrt{n}\)相乘会有点凉

g的用处

求完\(g\)就有很神奇的事情发生了！如果你认为\(F(x) = 1\)的话，我们甚至可以求出\(n\)以内质数的个数！在我不知道这些质数是什么的情况下！这简直是我这个菜鸡以前想都不敢想的事

不过，我们的征途是星辰大海1到n的前缀和

那么我们类似的定义一个\(S(n,j)\)表示前\(n\)个数里，所有数的最小的质因子大于等于\(P_{j}\)的方案数（注意这里就不包括小于\(P_{j}\)的质数了）

我们先搞定\(S(n,j)\)里的所有质数的\(F(x)\)的和

方法是\(g(n,|P|) - sum[j - 1]\)

那么我们枚举每个数的最小质因子

直接列个式子就是

\[S(n,j) = g(n,|P|) - sum[j - 1] + \sum_{k = j}^{P_{k}^{2} \leq n}\sum_{e = 1}^{P_{k}^{e + 1} \leq n} [F(P_{k}^{e}) S(\lfloor \frac{n}{P_{k}^{e}}\rfloor,j + 1) + F(P_{k}^{e + 1})]
\]

意义就是我们枚举一个数的最小质因子是\(P_{k}^{e}\)，然后乘上\(\lfloor\frac{n}{P_{k}^{e}}\rfloor\)中最小质因子大于\(P_{j + 1}\)的

但是所有的\(F(P_{k}^{e}),e\geq 2\)都会漏掉，所以要重算一下

这样的话复杂度就是……我抄的那个人没写……好像是\(O(\frac{n^{3/4}}{\log n})\)

好吧，这不重要……毕竟我……也不会证复杂度

这么看起来仿佛挺简单的好难

几道例题

LOJ#6053. 简单的函数

恍然觉得WC好像见过这道题……咋就变成板子了……板子都不会我也要废了qwq

考虑质数的函数值怎么表示，由于只有2是偶数，除了2以外剩下的质数值都是\(f(p) = p - 1\)，然后\(f(2) = 3\)

这个时候我们要大胆想象，我们就认为所有质数都是\(f(p) = p - 1\)，遇到2和1这个难受位置特判一下就好了

但是这样不满足积性

不过一个多项式嘛，我把每一块都拆开不就满足积性了吗

设\(F(x) = x\)，统计一个\(g(n,|P|)\)

再来一个\(F(x) = 1\)，统计一个\(h(n,|P|)\)

可以同时进行，方法都是一样的

于是我们的\(S(n,j)\)初始的时候统计质数要加上\(g(n,|P|) - h(n,|P|) - \sum_{i = 1}^{j - 1}(P_{i} - 1)\)

如果\(j = 1\)的话，我们把2算成了1，那就再加上2

于是照着刚才的讨论，问题就完美解决了

最后加上1处的函数值是1

  1. #include <bits/stdc++.h>
  2. #define fi first
  3. #define se second
  4. #define pii pair<int,int>
  5. #define mp make_pair
  6. #define pb push_back
  7. #define space putchar(' ')
  8. #define enter putchar('\n')
  9. #define eps 1e-10
  10. #define ba 47
  11. #define MAXN 200005
  12. //#define ivorysi
  13. using namespace std;
  14. typedef long long int64;
  15. typedef unsigned int u32;
  16. typedef double db;
  17. template<class T>
  18.     void read(T &res) {
  19.     res = 0;T f = 1;char c = getchar();
  20.     while(c < '0' || c > '9') {
  21.         if(c == '-') f = -1;
  22.         c = getchar();
  23.     }
  24.     while(c >= '0' && c <= '9') {
  25.         res = res * 10 +c - '0';
  26.         c = getchar();
  27.     }
  28.     res *= f;
  29. }
  30. template<class T>
  31.     void out(T x) {
  32.     if(x < 0) {x = -x;putchar('-');}
  33.     if(x >= 10) {
  34.         out(x / 10);
  35.     }
  36.     putchar('0' + x % 10);
  37. }
  38. const int MOD = 1000000007;
  39. int inc(int a,int b) {
  40.     return a + b >= MOD ? a + b - MOD : a + b;
  41. }
  42. int mul(int a,int b) {
  43.     return 1LL * a * b % MOD;
  44. }
  45. int fpow(int x,int c) {
  46.     int res = 1,t = x;
  47.     while(c) {
  48.         if(c & 1) res = mul(res,t);
  49.         t = mul(t,t);
  50.         c >>= 1;
  51.     }
  52.     return res;
  53. }
  54. void update(int &x,int y) {
  55.     x = inc(x,y);
  56. }
  57. int64 N,pos[MAXN],sqr;
  58. int prime[MAXN],tot,sum[MAXN];
  59. bool nonprime[MAXN];
  60. int cnt,g[MAXN],h[MAXN];
  61. int id[2][MAXN];
  62. int getsum(int64 x) {
  63.     int u = x % MOD;
  64.     int res = 1LL * u * (u + 1) % MOD;
  65.     res = mul(res,(MOD + 1) / 2);
  66.     return res;
  67. }
  68. void process(int64 S) {
  69.     for(int i = 2 ; i <= S ; ++i) {
  70.         if(!nonprime[i]) {
  71.             prime[++tot] = i;
  72.             sum[tot] = sum[tot - 1];
  73.             update(sum[tot],i);
  74.         }
  75.         for(int j = 1 ; j <= tot ; ++j) {
  76.             if(prime[j] > S / i) break;
  77.             nonprime[i * prime[j]] = 1;
  78.             if(i % prime[j] == 0) break;
  79.         }
  80.     }
  81. }
  82. int S(int64 x,int y) {
  83.     if(x <= 1 || prime[y] > x) return 0;
  84.     int res = 0;
  85.     if(y == 1) res += 2;
  86.     int k = x <= sqr ? id[0][x] : id[1][N / x];
  87.     update(res,inc(g[k],MOD - inc(inc(sum[y - 1],MOD - y + 1),h[k])));
  88.     for(int j = y ; j <= tot ; ++j) {
  89.         int64 t1 = prime[j],t2 = 1LL * prime[j] * prime[j];
  90.         if(t2 > x) break;
  91.         for(int e = 1 ; t2 <= x ; t1 = t2,t2 = t2 * prime[j],++e) {
  92.             int t = inc(mul(prime[j] ^ e,S(x / t1,j + 1)),prime[j] ^ (e + 1));
  93.             update(res,t);
  94.         }
  95.     }
  96.     return res;
  97. }
  98. int main(){
  99.     #ifdef ivorysi
  100.     freopen("f1.in","r",stdin);
  101.     #endif
  102.     read(N);
  103.     sqr = sqrt(N);
  104.     process(sqr);
  105.     for(int64 i = 1 ; i <= N ; ++i) {
  106.         int64 r = N / (N / i);
  107.         pos[++cnt] = N / i;
  108.         h[cnt] = (N / i - 1) % MOD;
  109.         g[cnt] = getsum(N / i);update(g[cnt],MOD - 1);
  110.         if(N / i <= sqr) id[0][N / i] = cnt;
  111.         else id[1][N / (N / i)] = cnt;
  112.         i = r;
  113.     }
  114.     for(int j = 1 ; j <= tot ; ++j) {
  115.         for(int i = 1 ; i <= cnt && 1LL * prime[j] * prime[j] <= pos[i] ; ++i) {
  116.             int k = (pos[i] / prime[j]) <= sqr ? id[0][pos[i] / prime[j]] : id[1][N / (pos[i] / prime[j])];
  117.             int t = inc(g[k],MOD - sum[j - 1]);
  118.             t = mul(t,prime[j]);
  119.             update(g[i],MOD - t);
  120.             update(h[i],MOD - inc(h[k],MOD - (j - 1)));
  121.         }
  122.     }
  123.     int ans = inc(S(N,1),1);
  124.     out(ans);enter;
  125.     return 0;
  126. }

LOJ#572. 「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和

当时我打的时候不会min25

一年过去了

我竟然现在才学min25？！

这个，好像是类似min25的一种求和方法

首先我们熟练的把gcd转换成互质数对

\[ans = \sum_{d = 1}^{n} f(d)^{k} \sum_{i = 1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\sum_{j = 1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\sum_{t|i,j}\mu(t) \\
\sum_{d = 1}^{n}f(d)^{k} \sum_{t = 1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\mu(t) \lfloor \frac{n}{dt} \rfloor^{2} \\
\sum_{T = 1}^{n} \lfloor \frac{n}{T} \rfloor^{2} \sum_{d | T}f(d)\mu(\frac{T}{d})
\]

这个时候我们发现要求的就是\(f * \mu(T)\)

然而……

回忆起学过的杜教筛，我们可以卷上一个\(I(x) = 1\)

\(f * \mu * I = f * \varepsilon = f\)

然后套到杜教筛里

可以得到

\[S(n) = \sum_{i = 1}^{n}f(n) - \sum_{t = 2}^{n}S(\lfloor \frac{n}{t}\rfloor)
\]

然后我们要做的就是求\(f(n)\)的前缀和了

用一种类似min25的方法

设\(s(n,j)\)为\([1,n]\)里面，质数大于等于\(j - 1\)的和，\(f(n) = S(n,1)\)，默认\(prime[0] = 1\)

再枚举第二大的质数的时候才统计贡献

考虑min25的时候，我们分了质数，和合数两部分统计

如果是质数的部分，统计了\([1,\lfloor \frac{n}{prime[j - 1]} \rfloor]\)中，大于\(prime[j - 1]\)的一个质数，我们用\(prime[j - 1]\)乘上这个质数，这个数第二大的质因子即为\(prime[j - 1]\)

如果是合数的部分，从\(j\)到\(tot\)枚举最小质数的时候，显然前面加的是已经统计完次大质因子贡献的合数，所以系数是1，唯一漏掉的是\(prime[j]^{e + 1}\)，加上即可

列一个式子就是

\[s(n,j) = prime[j - 1]^{k} * (g(n,j) - j + 1)\\+\sum_{j = 1}^{prime[j]^{2} \leq n} \sum_{e = 1}^{prime[j]^{e + 1} \leq n}s(\lfloor \frac{n}{prime[j]^{e}}\rfloor,j + 1) + prime[j]^{k}
\]

unordered_map比手写哈希慢了两倍不止……感觉不行……

  1. #include <bits/stdc++.h>
  2. #define fi first
  3. #define se second
  4. #define pii pair<int, int>
  5. #define mp make_pair
  6. #define pb push_back
  7. #define space putchar(' ')
  8. #define enter putchar('\n')
  9. #define eps 1e-10
  10. #define ba 47
  11. #define MAXN 200005
  12. //#define ivorysi
  13. using namespace std;
  14. typedef long long int64;
  15. typedef unsigned int u32;
  16. typedef double db;
  17. template <class T>
  18. void read(T &res) {
  19.     res = 0;
  20.     T f = 1;
  21.     char c = getchar();
  22.     while (c < '0' || c > '9') {
  23.         if (c == '-')
  24.             f = -1;
  25.         c = getchar();
  26.     }
  27.     while (c >= '0' && c <= '9') {
  28.         res = res * 10 + c - '0';
  29.         c = getchar();
  30.     }
  31.     res *= f;
  32. }
  33. template <class T>
  34. void out(T x) {
  35.     if (x < 0) {
  36.         x = -x;
  37.         putchar('-');
  38.     }
  39.     if (x >= 10) {
  40.         out(x / 10);
  41.     }
  42.     putchar('0' + x % 10);
  43. }
  45. u32 N, sqr, K;
  46. u32 prime[MAXN], tot, h[MAXN], pos[MAXN];
  47. u32 id[2][MAXN], cnt, pw[MAXN], rec;
  48. bool nonprime[MAXN];
  49. int c[10000005];
  50. u32 getpos(u32 x) { return x <= sqr ? id[0][x] : id[1][N / x]; }
  51. struct HASH {
  52.     int sumE,head[974711 + 5];u32 mo = 974711;
  53.     struct node {
  54. 	pair<u32,u32> x;u32 val;int next;
  55.     }E[10000005];
  56.     u32 hash_key(pair<u32,u32> t) {
  57. 	return t.fi << 16 | t.se;
  58.     }
  59.     void add(pair<u32,u32> x,u32 v) {
  60. 	u32 u = hash_key(x) % mo;
  61. 	E[++sumE].x = x;E[sumE].val = v;
  62. 	E[sumE].next = head[u];head[u] = sumE;
  63.     }
  64.     bool count(pair<u32,u32> x) {
  65. 	u32 u = hash_key(x) % mo;
  66. 	for(int i = head[u] ; i ; i = E[i].next) {
  67. 	    if(E[i].x == x) return true;
  68. 	}
  69. 	return false;
  70.     }
  71.     u32 query(pair<u32,u32> x) {
  72. 	u32 u = hash_key(x) % mo;
  73. 	for(int i = head[u] ; i ; i = E[i].next) {
  74. 	    if(E[i].x == x) return E[i].val;
  75. 	}
  76. 	return 0;
  77.     }
  78. }hsh;
  79. u32 rf[MAXN];
  80. bool vis[MAXN];
  81. u32 fpow(u32 x, u32 c) {
  82.     u32 res = 1, t = x;
  83.     while (c) {
  84.         if (c & 1)
  85.             res = res * t;
  86.         t = t * t;
  87.         c >>= 1;
  88.     }
  89.     return res;
  90. }
  92. void Process() {
  93.     prime[0] = 1;
  94.     pw[0] = 1;
  95.     for (u32 i = 2; i <= sqr; ++i) {
  96.         if (!nonprime[i]) {
  97.             prime[++tot] = i;
  98.             pw[tot] = fpow(i, K);
  99.         }
  100.         for (int j = 1; j <= tot; ++j) {
  101.             if (prime[j] > sqr / i)
  102.                 break;
  103.             nonprime[i * prime[j]] = 1;
  104.             if (i % prime[j] == 0)
  105.                 break;
  106.         }
  107.     }
  108.     for (u32 i = 1; i <= N; ++i) {
  109.         u32 r = N / (N / i);
  110.         pos[++cnt] = N / i;
  111.         h[cnt] = N / i - 1;
  112.         if (N / i <= sqr)
  113.             id[0][N / i] = cnt;
  114.         else
  115.             id[1][N / (N / i)] = cnt;
  116.         i = r;
  117.     }
  118.     for (int j = 1; j <= tot; ++j) {
  119.         for (int i = 1; i <= cnt && 1LL * prime[j] * prime[j] <= pos[i]; ++i) {
  120.             int k = getpos(pos[i] / prime[j]);
  121.             h[i] = h[i] - (h[k] - (j - 1));
  122.         }
  123.     }
  124. }
  125. u32 SF(u32 x, u32 y) {
  126.     if (x <= 1 || prime[y] > x)
  127.         return 0;
  128.     if (hsh.count(mp(x, y)))
  129.         return hsh.query(mp(x, y));
  130.     ++rec;
  131.     u32 res = pw[y - 1] * (h[getpos(x)] - (y - 1));
  132.     for (u32 j = y; j <= tot && 1LL * prime[j] * prime[j] <= x; ++j) {
  133.         int64 t1 = prime[j], t2 = 1LL * prime[j] * prime[j];
  134.         for (int e = 1; t2 <= x; t1 = t2, t2 *= prime[j], ++e) {
  135.             res += SF(x / t1, j + 1) + pw[j];
  136.         }
  137.     }
  138.     // out(x);space;out(y);enter;
  139.     // printf("%.3lf\n",(db)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
  140.     hsh.add(mp(x,y),res);
  141.     return res;
  142. }
  143. u32 FF(u32 x) {
  144.     if (vis[getpos(x)])
  145.         return rf[getpos(x)];
  146.     u32 res = SF(x, 1);
  147.     for (u32 i = 2; i <= x; ++i) {
  148.         u32 r = x / (x / i);
  149.         res -= (r - i + 1) * FF(x / i);
  150.         i = r;
  151.     }
  152.     vis[getpos(x)] = 1;
  153.     rf[getpos(x)] = res;
  154.     return res;
  155. }
  156. int main() {
  157. #ifdef ivorysi
  158.     freopen("f1.in", "r", stdin);
  159. #endif
  160.     read(N);
  161.     read(K);
  162.     sqr = sqrt(N);
  163.     Process();
  164.     u32 ans = 0;
  165.     u32 pre = 0;
  166.     for (u32 T = 1; T <= N; ++T) {
  167.         u32 r = N / (N / T);
  168.         u32 nw = FF(r);
  169.         ans += (N / T) * (N / T) * (nw - pre);
  170.         pre = nw;
  171.         T = r;
  172.     }
  173.     out(ans);
  174.     enter;
  175.     // out(rec);enter;
  176.     // printf("%.3lf\n",(db)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
  177.     return 0;
  178. }

【51nod】1847 奇怪的数学题

这个怎么跟上面那个题好像啊！

所以直接给出杜教筛的部分

\[S(n) = \sum_{i = 1}^{n} sgcd(n)^{k} - \sum_{i = 1}^{n}S(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor)
\]

em……完全一样好吧

发现\(sgcd(n) = \frac{n}{min_{p}(n)}\)，就是n除以最小质数

这个和g函数就已经很类似了……

考虑到\(g(n,j)\)求的是\([1,n]\)中的质数和最小质因子大于\(p_{j}\)的\(x^{k}\)和

然后只要枚举一个质数\(p_{i} * g(\lfloor \frac{n}{p_{i}}\rfloor,i - 1)\)就搞定了，最后再统计一遍纯质数的答案

不需要后面的那部分了

至于自然数幂和的那部分可以用乘方转斯特林数推一个公式出来

（还傻乎乎求了一遍后面的我真是zz）

  1. #pragma GCC optimize("Ofast,unroll-loops,no-stack-protector,fast-math")
  2. #include <bits/stdc++.h>
  3. #define fi first
  4. #define se second
  5. #define pii pair<int,int>
  6. #define mp make_pair
  7. #define pb push_back
  8. #define space putchar(' ')
  9. #define enter putchar('\n')
  10. #define eps 1e-10
  11. #define ba 47
  12. #define MAXN 100005
  13. //#define ivorysi
  14. using namespace std;
  15. typedef long long int64;
  16. typedef unsigned int u32;
  17. typedef double db;
  18. template<class T>
  19. void read(T &res) {
  20.     res = 0;T f = 1;char c = getchar();
  21.     while(c < '0' || c > '9') {
  22.     if(c == '-') f = -1;
  23.     c = getchar();
  24.     }
  25.     while(c >= '0' && c <= '9') {
  26.     res = res * 10 +c - '0';
  27.     c = getchar();
  28.     }
  29.     res *= f;
  30. }
  31. template<class T>
  32. void out(T x) {
  33.     if(x < 0) {x = -x;putchar('-');}
  34.     if(x >= 10) {
  35.     out(x / 10);
  36.     }
  37.     putchar('0' + x % 10);
  38. }
  39. u32 N,sqr,K;
  40. u32 h[MAXN],g[MAXN],f[MAXN],pos[MAXN],id[2][MAXN],sum[MAXN],cnt;
  41. u32 prime[MAXN],tot,S[55][55],rec[55];
  42. bool nonprime[MAXN];
  43. u32 getpos(u32 x) {
  44.     return x <= sqr ? id[0][x] : id[1][N / x];
  45. }
  46. u32 getsum(u32 x) {
  47.     u32 res = 0;
  48.     for(u32 j = 0 ; j <= K ; ++j) {
  49. 	if(x < j) break;
  50. 	u32 t = S[K][j];
  51. 	bool f = 0;
  52. 	for(u32 h = 0 ; h < j + 1 ; ++h) {
  53. 	    u32 p = (x + 1 - h);
  54. 	    if(!f && p % (j + 1) == 0) {f = 1;p /= j + 1;}
  55. 	    t = t * p;
  56. 	}
  57. 	res += t;
  58.     }
  59.     return res;
  60. }
  61. u32 fpow(u32 x,u32 c) {
  62.     u32 res = 1,t = x;
  63.     while(c) {
  64. 	if(c & 1) res = res * t;
  65. 	t = t * t;
  66. 	c >>= 1;
  67.     }
  68.     return res;
  69. }
  70. void Process() {
  71.     for(u32 i = 2 ; i <= sqr ; ++i) {
  72. 	if(!nonprime[i]) {
  73. 	    prime[++tot] = i;
  74. 	    sum[tot] = sum[tot - 1] + fpow(i,K);
  75. 	}
  76. 	for(int j = 1 ; j <= tot ; ++j) {
  77. 	    if(prime[j] > sqr / i) break;
  78. 	    nonprime[prime[j] * i] = 1;
  79. 	    if(i % prime[j] == 0) break;
  80. 	}
  81.     }
  82.     S[0][0] = 1;
  83.     for(int i = 1 ; i <= K ; ++i) {
  84. 	for(int j = 1 ; j <= i ; ++j) {
  85. 	    S[i][j] = S[i - 1][j - 1] + j * S[i - 1][j];
  86. 	}
  87.     }
  88.     for(u32 i = 1 ; i <= N ; ++i) {
  89. 	u32 r = N / (N / i);
  90. 	pos[++cnt] = N / i;
  91. 	if(N / i <= sqr) id[0][N / i] = cnt;
  92. 	else id[1][N / (N / i)] = cnt;
  93. 	h[cnt] = N / i - 1;
  94. 	g[cnt] = getsum(N / i) - 1;
  95. 	i = r;
  96.     }
  97.     for(u32 j = 1 ; j <= tot ; ++j) {
  98. 	for(u32 i = 1 ; i <= cnt && 1LL * prime[j] * prime[j] <= pos[i] ; ++i) {
  99. 	    u32 k = getpos(pos[i] / prime[j]);
  100. 	    g[i] -= (sum[j] - sum[j - 1]) * (g[k] - sum[j - 1]);
  101. 	    h[i] -= h[k] - (j - 1);
  102. 	    f[i] += g[k] - sum[j - 1];
  103. 	}
  104.     }
  105.     for(int i = 1 ; i <= cnt ; ++i) f[i] += h[i];
  106. }
  107. bool vis[MAXN];
  108. u32 rs[MAXN];
  109. u32 UT(u32 n) {
  110.     if(vis[getpos(n)]) return rs[getpos(n)];
  111.     u32 res = f[getpos(n)];
  112.     for(u32 i = 2 ; i <= n ; ++i) {
  113. 	u32 r = n / (n / i);
  114. 	res -= (r - i + 1) * UT(n / i);
  115. 	i = r;
  116.     }
  117.     vis[getpos(n)] = 1;rs[getpos(n)] = res;
  118.     return res;
  119. }
  120. void Solve() {
  121.     read(N);read(K);sqr = sqrt(N);
  122.     Process();
  123.     u32 ans = 0,pre = 0,nw;
  124.     for(u32 i = 1 ; i <= N ; ++i) {
  125. 	u32 r = N / (N / i);
  126. 	nw = UT(r);
  127. 	ans += (N / i) * (N / i) * (nw - pre);
  128. 	pre = nw;
  129. 	i = r;
  130.     }
  131.     out(ans);enter;
  132. }
  133. int main(){
  134. #ifdef ivorysi
  135.     freopen("f1.in","r",stdin);
  136. #endif
  137.     Solve();
  138.     return 0;
  139. }

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