【loj2339】【WC2018】通道

题目

三棵带边权的树，求

\[dis1(u,v) + dis2(u,v) + dis3(u,v)
\]

的最大值

\(1 \le n \le 10^5\)

题解

• 对\(T_1\)做边分治，把分治边的两边分别染成白色和黑色，设分治边权值为\(W\)距离变成：

  \[d1(u) + d1(v) + dis2(u,v) + dis3(u,v) + \ W
  \]

• 将分治中心\(dfs\)到的所有点加入\(T2\)做虚树得到\(T2'\)，\(dfs\)这颗虚树到\(p\)的时候统计所有\(p\)作为\(lca\)的情况：

  \[d1(u) + d1(v) + d2(u) + d2(v) + dis3(u,v) \ + W - 2dis(p)
  \]

• 考虑在\(T_3\)中新建一个点\(u'\)，以\(d1(u)+d2(u)\)的边权挂在$ u $下面(实现的时候不需要真的新建)

  现在后面两项都是定值了，只需要考虑在\(T_3'\)上找到端点异色的直径

  边权非负时合并直径，合并后的直径端点一定在合并前两条直径的端点里面

  那直接在\(dfs \ T_2'\)　的时候维护一下\(T_3'\)上同色的直径端点，然后再黑白组合即可

  就是有点长．．．．

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ll long long
  #define pb push_back
  #define mk make_pair
  #define fi first
  #define se second
  using namespace std;
  const int N=200010;
  typedef pair<int,ll>pii;
  int n,st[N],tot,fg[N];
  ll d1[N],d2[N],d3[N],ans,W;
  char gc(){
  	static char*p1,*p2,s[1000000];
  	if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
  	return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  ll rd(){
  	ll x=0;char c=gc();
  	while(c<'0'||c>'9')c=gc();
  	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
  	return x;
  }
  bool upd(ll&x,ll y){
  	if(x>=y)return false;
  	x=y;return true;
  }
  namespace T3{
  	int o=1,hd[N],idx2,f[N][19],lg[N];
  	int dep[N],bin[19],pos[N];
  	struct Edge{int v,nt;ll w;}E[N<<1];
  	void adde(int u,int v,ll w){
  		E[o]=(Edge){v,hd[u],w};hd[u]=o++;
  		E[o]=(Edge){u,hd[v],w};hd[v]=o++;
  	}
  	void dfs(int u,int fa){
  		f[++idx2][0]=u;pos[u]=idx2;
  		for(int i=hd[u];i;i=E[i].nt){
  			int v=E[i].v;ll w=E[i].w;
  			if(v==fa)continue;
  			dep[v]=dep[u]+1;
  			d3[v]=d3[u]+w;
  			dfs(v,u);
  			f[++idx2][0]=u;
  		}
  	}
  	int Min(int x,int y){return dep[x]<dep[y]?x:y;}
  	void init(){
  		lg[0]=-1;for(int i=1;i<=idx2;++i)lg[i]=lg[i>>1]+1;
  		for(int i=bin[0]=1;i<19;++i)bin[i]=bin[i-1]<<1;
  		for(int i=1;i<19;++i)
  		for(int j=1;j+bin[i]-1<=idx2;++j){
  			f[j][i]=Min(f[j][i-1],f[j+bin[i-1]][i-1]);
  		}
  	}
  	int lca(int u,int v){
  		int x=pos[u],y=pos[v];
  		if(x>y)swap(x,y);
  		int t=lg[y-x+1];
  		return Min(f[x][t],f[y-bin[t]+1][t]);
  	}
  	ll que(int u,int v){return d1[u]+d1[v]+d2[u]+d2[v]+d3[u]+d3[v]-d3[lca(u,v)]*2;}
  	void solve(){dfs(1,0);init();}
  }
  namespace T2{
  	int id[N],idx,idx2,sta[N],top,dep[N];
  	int o=1,hd[N],f[N][19],bin[19],lg[N],pos[N];
  	struct Edge{int v,nt;ll w;}E[N<<1];
  	void adde(int u,int v,ll w){
  		E[o]=(Edge){v,hd[u],w};hd[u]=o++;
  		E[o]=(Edge){u,hd[v],w};hd[v]=o++;
  	}
  	void Adde(int u,int v){
  		E[o]=(Edge){v,hd[u],0};hd[u]=o++;
  		E[o]=(Edge){u,hd[v],0};hd[v]=o++;
  	}
  	int Min(int x,int y){return dep[x]<dep[y]?x:y;}
  	void dfs1(int u,int fa){
  		id[u]=++idx;
  		f[++idx2][0]=u;pos[u]=idx2;
  		for(int i=hd[u];i;i=E[i].nt){
  			int v=E[i].v;ll w=E[i].w;
  			if(v==fa)continue;
  			dep[v]=dep[u]+1;
  			d2[v]=d2[u]+w;
  			dfs1(v,u);
  			f[++idx2][0]=u;
  		}
  	}
  	void init(){
  		lg[0]=-1;for(int i=1;i<=idx2;++i)lg[i]=lg[i>>1]+1;
  		for(int i=bin[0]=1;i<19;++i)bin[i]=bin[i-1]<<1;
  		for(int i=1;i<19;++i)
  		for(int j=1;j+bin[i]-1<=idx2;++j){
  			f[j][i]=Min(f[j][i-1],f[j+bin[i-1]][i-1]);
  		}
  	}
  	int lca(int u,int v){
  		int x=pos[u],y=pos[v];
  		if(x>y)swap(x,y);
  		int t=lg[y-x+1];
  		return Min(f[x][t],f[y-bin[t]+1][t]);
  	}
  	void solve(){
  		dfs1(1,0);init();
  		sta[++top]=1;
  	}
  	ll cal(int u,int v){
  		return (!u&&!v) ? -2 : (!u||!v) ? -1 : T3::que(u,v);
  	}
  	struct data{
  		int x,y;ll v;
  		data(int _x=0,int _y=0,ll _v=0):x(_x),y(_y),v(_v){};
  		void init(){x=y=0;v=-2;}
  		data operator +(const data&A)const{
  			data re=v>A.v?*this:A;
  			if(upd(re.v,cal(x,A.x)))re=data(x,A.x,re.v);
  			if(upd(re.v,cal(x,A.y)))re=data(x,A.y,re.v);
  			if(upd(re.v,cal(y,A.x)))re=data(y,A.x,re.v);
  			if(upd(re.v,cal(y,A.y)))re=data(y,A.y,re.v);
  			return re;
  		}
  		ll operator *(const data&A)const{
  			ll re=0;
  			upd(re,cal(x,A.x));
  			upd(re,cal(x,A.y));
  			upd(re,cal(y,A.x));
  			upd(re,cal(y,A.y));
  			return re;
  		}
  	}L[N],R[N];
  	void dfs2(int u,int fa){
  		L[u].init();R[u].init();
  		if(fg[u]&1)L[u].x=u,L[u].v++;
  		else if(fg[u])R[u].x=u,R[u].v++;
  		for(int i=hd[u];i;i=E[i].nt){
  			int v=E[i].v;
  			if(v==fa)continue;
  			dfs2(v,u);
  			upd(ans,max(L[u]*R[v],R[u]*L[v])-2*d2[u]+W);
  			L[u]=L[u]+L[v];R[u]=R[u]+R[v];
  		}
  	}
  	bool cmp(int a,int b){return id[a]<id[b];}
  	void query(){
  		o=1;sort(st+1,st+tot+1,cmp);
  		hd[1]=0;for(int i=1;i<=tot;++i)hd[st[i]]=0;
  		for(int i=1;i<=tot;++i){
  			if(st[i]==sta[top])continue;
  			int u=st[i],w=lca(u,sta[top]);
  			if(w==sta[top]){sta[++top]=u;continue;}
  			while(top>1&&dep[sta[top-1]]>=dep[w])Adde(sta[top-1],sta[top]),top--;
  			if(w!=sta[top])hd[w]=0,Adde(w,sta[top--]),sta[++top]=w;
  			sta[++top]=u;
  		}
  		while(top>1)Adde(sta[top-1],sta[top]),top--;
  		dfs2(1,0);
  	}
  }
  namespace T1{
  	int o,hd[N],cnt,size,vis[N<<1],rt,mn,sz[N];
  	vector<pii>g[N];
  	struct Edge{int v,nt;ll w;}E[N<<1];
  	void adde(int u,int v,ll w){
  		g[u].pb(mk(v,w));
  		g[v].pb(mk(u,w));
  	}
  	void Adde(int u,int v,ll w){
  		E[o]=(Edge){v,hd[u],w};hd[u]=o++;
  		E[o]=(Edge){u,hd[v],w};hd[v]=o++;
  	//	cerr<<u<<" "<<v<<" "<<w<<endl;
  	}
  	void dfs(int u,int fa){
  		for(int i=0,lst=0;i<(int)g[u].size();++i){
  			int v=g[u][i].fi;ll w=g[u][i].se;
  			if(v==fa)continue;dfs(v,u);
  			if(!lst){Adde(u,v,w);lst=u;continue;}
  			Adde(lst,++cnt,0);Adde(cnt,v,w);lst=cnt;
  		}
  	}
  	void getrt(int u,int fa){
  		sz[u]=1;
  		for(int i=hd[u];~i;i=E[i].nt){
  			int v=E[i].v;
  			if(v==fa||vis[i])continue;
  			getrt(v,u);sz[u]+=sz[v];
  			int tmp=max(sz[v],size-sz[v]);
  			if(!~rt||tmp<mn)mn=tmp,rt=i;
  		}
  	}
  	void cal(int u,int fa,int F){
  		if(u<=n)fg[st[++tot]=u]=F;
  		for(int i=hd[u];~i;i=E[i].nt){
  			int v=E[i].v;ll w=E[i].w;
  			if(v==fa||vis[i])continue;
  			d1[v]=d1[u]+w;
  			cal(v,u,F);
  		}
  	}
  	void divide(int i){
  		if(size==1)return;
  		vis[i]=vis[i^1]=1;
  		int p=E[i].v,q=E[i^1].v;
  		tot=0;
  		d1[p]=0;cal(p,0,1);
  		d1[q]=0;cal(q,0,2);
  		W=E[i].w;T2::query();
  		for(int j=1;j<=tot;++j)fg[st[j]]=0;
  		int t1=sz[p]<sz[q]?sz[p]:size-sz[q];
  		int t2=size-t1;
  		rt=-1;size=t1;
  		getrt(p,0);
  		divide(rt);
  		rt=-1;size=t2;
  		getrt(q,0);
  		divide(rt);
  	}
  	void solve(){
  		for(int i=1;i<=n<<1;++i)hd[i]=-1;
  		cnt=n;dfs(1,0);
  		rt=-1;size=cnt;
  		getrt(1,0);
  		divide(rt);
  	}
  }//
  int main(){
  	#ifndef ONLINE_JUDGE
  	freopen("access.in","r",stdin);
  	freopen("access.out","w",stdout);
  	#endif
  	n=rd();int u,v;ll w;
  	for(int i=1;i<n;++i){
  		u=rd(),v=rd(),w=rd();
  		T1::adde(u,v,w);
  	}
  	for(int i=1;i<n;++i){
  		u=rd(),v=rd(),w=rd();
  		T2::adde(u,v,w);
  	}
  	for(int i=1;i<n;++i){
  		u=rd(),v=rd(),w=rd();
  		T3::adde(u,v,w);
  	}
  	T3::solve();
  	T2::solve();
  	T1::solve();
  	cout<<ans<<endl;
  	return 0;
  }