Bell数入门

贝尔数

贝尔数是以埃里克·坦普尔·贝尔命名，是组合数学中的一组整数数列，开首是（OEIS的A000110数列）：

$$B_0 = 1, B_1 = 1, B_2 = 2, B_3 = 5, B_4 = 15, B_5 = 52, B_6 = 203, ...$$

$B_n$ 的含义是基数为 $n$ 的集合划分成非空集合的划分数。

例如， $B_3=5$ 是因为3个元素的集合有5种划分方法：

{{a}, {b}, {c}}
{{a}, {b, c}}
{{b}, {a, c}}
{{c}, {a, b}}
{{a, b, c}};

贝尔数有递推公式：

$$\displaystyle B_{n+1} = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}B_k$$

上述组合公式的证明：

可以这样来想，$B_{n+1}$ 是含有 $n+1$ 个元素集合的划分个数，考虑元素 $b_{n+1}$，

假设他被单独划分到一类，那么还剩下n个元素，这种情况下划分个数为 $\binom{n}{n}B_n$

假设他和某一个元素被划分为一类，那么还剩下n-1个元素，这种情况下划分个数为 $\binom{n}{n-1}B_{n-1}$

假设他和某两个元素被划分为一类，那么还剩下n-2个元素，这种情况下划分个数为 $\binom{n}{n-2}B_{n-2}$，

依次类推，得到了上述组合公式

它们也适合“Dobinski公式”：

$\displaystyle B_n = \frac{1}{e}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^n}{k!}$

即期望值为1 的泊松分布的 $n$ 次矩。

它们也适合"Touchard同余"：若 $p$ 是任意素数，那么

$$B_{p+n} = B_n + B_{n+1}$$

$$B_{p^m+n} = mB_n + B_{n+1}$$

贝尔数模素数 $p$ 的周期为：

$$T_p = \frac{p^p-1}{p-1}$$

每个贝尔数都是相应第二类斯特林数的和

$$\displaystyle B_n = \sum_{k=0}^nS(n, k)$$

因为，第二类斯特林数 $S(n, k)$ 是把基数为 $n$ 的集合划分为正好 $k$ 个非空集合的方案数。

此外，贝尔数的指数型母函数是

$$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }\frac{B_n}{n!}x^n = e^{e^x-1}$$

贝尔三角形

用以下方法建构一个三角矩阵（形式类似杨辉三角形）：

• 第一行第一项为1（$a_{1,1}=1$）
• 对于 $n>1$，第 $n$ 行第一项等于第 $n-1$ 项的最后一项（$a_{n,1} = a_{n-1, n-1}$）
• 对于 $m,n>1$，第 $n$ 行第 $m$ 项等于它左边和左上两个数之和（$a_{n,m} = a_{n, m-1} + a_{n-1, m-1}$）

结果如下：（OEIS:A011971）

每行首项是贝尔数。每行之和是第二类Stirling数。

可以利用这个三角形来求Bell数，

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = +;
const int mod = ;      //周期为13
int bell[maxn], T[maxn];

void Bell(int n, int mod)     //求前n项Bell数
{
    bell[] = bell[] = ;
    T[] = ;T[] = ;
    for(int i = ;i <= n;i++)
    {
        T[i-] = bell[i-];
        for(int j = i-;j >= ;j--)  //滚动数组
            T[j] = (T[j] + T[j+]) % mod;
        bell[i] = T[];
    }
}

int main()
{
    Bell(, mod);
    for(int i = ;i < ;i++)
        printf("%d%c", bell[i], (i+)% ==  ? '\n' : ' ');
}

参考链接：

1. https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%B4%9D%E5%B0%94%E6%95%B0

2. https://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/12309269